生成这个题目的讲解---**Question 13** **Question Stem:** 设向量 a,b 的夹角的余弦值为 1/3，且 |a|=1，|b|=3，则 (2a+b) · b = _______. **Mathematical Information:** * Vectors: a, b * Cosine of the angle between vectors a and b: cos(θ) = 1/3 * Magnitude of vector a: |a| = 1 * Magnitude of vector b: |b| = 3 * Expression to be evaluated: (2a+b) · b

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我们来解决这个向量数量积问题。首先回顾向量数量积的定义公式：a点乘b等于a的模长乘以b的模长再乘以它们夹角的余弦值。根据题目给出的条件：夹角余弦值为三分之一，向量a的模长为1，向量b的模长为3。我们可以计算出a点乘b等于1乘以3乘以三分之一，结果为1。 接下来我们需要掌握数量积的运算法则。最重要的是分配律：向量u加v的和与向量w的数量积，等于u与w的数量积加上v与w的数量积。应用到我们的题目，括号2a加b与b的数量积，可以按分配律展开为2a与b的数量积加上b与b的数量积。这样我们就把原式分解为两个更简单的项来计算。 现在我们来理解向量自身数量积的性质。向量b与自身的数量积等于其模长的平方。从几何意义上看，当两个向量完全相同时，它们之间的夹角为0度，而0度角的余弦值等于1。因此，b点乘b等于b的模长的平方，即3的平方等于9。这个结果将用于我们最终的计算。 现在我们将所有步骤整合起来完成最终计算。第一步，应用分配律将括号2a加b与b的数量积展开为2a与b的数量积加上b与b的数量积。第二步，代入我们之前计算的已知值：a点乘b等于1，b点乘b等于9，所以原式变为2乘以1加上9。第三步，计算最终结果：2加9等于11。因此，这道题的答案是11。 让我们回顾一下整个解题过程的关键步骤。第一步，我们利用向量数量积的定义公式，结合已知的夹角余弦值和向量模长，计算出a点乘b等于1。第二步，应用数量积的分配律，将复合表达式展开为两个简单项的和。第三步，利用向量自身数量积等于模长平方的性质，计算出b点乘b等于9。第四步，将所有数值代入得出最终答案11。这个解题过程充分体现了向量数量积运算在解决此类问题中的重要作用。