生成这个题目的讲解---**Question Stem:** 14. 若双曲线 y² - (x²/m²) = 1 (m > 0) 的渐近线与圆 x² + y² - 4y + 3 = 0 相切, 则 m = ______. **Explanation of Mathematical Formulas/Equations:** * **Hyperbola equation:** y² - (x²/m²) = 1 * This is a hyperbola centered at the origin, with its transverse axis along the y-axis. * Condition: m > 0. * **Circle equation:** x² + y² - 4y + 3 = 0 * This is the general form of a circle equation. It can be rewritten in standard form (x - h)² + (y - k)² = r² to identify its center and radius. **Other Relevant Text:** * "若双曲线...的渐近线与圆...相切" translates to "If the asymptotes of the hyperbola... are tangent to the circle...". * "则 m =" translates to "then m =". The question asks to find the value of m.

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我们来学习双曲线的基础知识。给定双曲线方程 y² - x²/m² = 1，其中m大于0。这是一个以y轴为实轴的双曲线，中心在原点。参数m的大小会影响双曲线的形状，m越大，双曲线越宽。 现在我们推导双曲线的渐近线方程。从双曲线方程 y² - x²/m² = 1 开始，移项得到 y² = 1 + x²/m²，开方得到 y = ±√(1 + x²/m²)。当x的绝对值很大时，1相对于x²/m²可以忽略，所以y约等于±x/m。因此渐近线方程为 y = ±x/m。 现在我们将圆的一般式转换为标准形式。给定圆的方程 x² + y² - 4y + 3 = 0，我们对y项进行配方。将y² - 4y写成(y² - 4y + 4 - 4)，即(y - 2)² - 4。代入原方程得到 x² + (y - 2)² - 4 + 3 = 0，化简得 x² + (y - 2)² = 1。这表示圆心在(0, 2)，半径为1的圆。 接下来学习直线与圆相切的条件。当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径。对于一般式直线 ax + by + c = 0 和圆心(h, k)，距离公式为 |ah + bk + c| 除以 √(a² + b²)。相切条件就是这个距离等于半径r。 现在建立相切方程并求解。渐近线 y = ±x/m 写成一般式为 x - my = 0 和 x + my = 0。圆心(0,2)到直线的距离为 2m 除以 √(1 + m²)。根据相切条件，这个距离等于1，得到方程 2m/√(1 + m²) = 1。两边平方得 4m² = 1 + m²，化简得 3m² = 1，所以 m = √3/3。