生成这个题目的讲解---**Question Stem:** 15. 从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一平面上的概率为______。 **Other Relevant Text:** This is a fill-in-the-blank question, requesting a numerical probability as the answer.

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这是一道关于正方体几何概率的问题。我们需要从正方体的8个顶点中任选4个点，求这4个点在同一平面上的概率。首先让我们观察正方体的结构，它有8个顶点，我们标记为V1到V8。解决这个问题的关键是要找出所有可能的4点共面情况。 要计算概率，我们首先需要确定总的选择方案数。从8个顶点中选择4个顶点，这是一个组合问题。使用组合数公式C(8,4)等于8的阶乘除以4的阶乘乘以4的阶乘。计算得出8乘7乘6乘5除以4乘3乘2乘1，等于1680除以24，最终结果是70。所以总共有70种不同的选择方案。 现在我们分析正方体中4个点共面的所有情况。正方体中4点共面主要有两类情况：第一类是正方体的6个面，每个面都恰好有4个顶点，比如底面的4个顶点。第二类是正方体的6个对角面，每个对角面也恰好包含4个顶点。这样总共有12种4点共面的情况。让我们通过3D图形来直观地看这些平面。 现在我们详细计算满足条件的方案数。正方体有6个面，分别是上面、下面、前面、后面、左面、右面，每个面都恰好有4个顶点，所以每个面只有1种选择4个顶点的方法，共6种。另外，正方体还有6个对角面，每个对角面也恰好有4个顶点，每个对角面也只有1种选法，又是6种。因此，总的共面方案数是6加6等于12种。 现在我们计算最终的概率。概率等于满足条件的方案数除以总方案数，即12除以70。我们可以将这个分数化简，12和70的最大公约数是2，所以12除以70等于6除以35。因此，从正方体的8个顶点中任选4个点，这4个点在同一平面上的概率为35分之6。