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圆是平面几何中最基本的图形之一。圆的定义是：平面上到定点距离相等的所有点的集合。这个定点称为圆心，通常用字母O表示，相等的距离称为半径，用字母r表示。现在我们来看圆的形成过程。
现在我们来推导圆的标准方程。设圆心为O，坐标是(a,b)，半径为r。圆上任意一点P的坐标为(x,y)。根据圆的定义，点P到圆心O的距离等于半径r。利用两点间距离公式，我们得到根号下(x-a)的平方加(y-b)的平方等于r。两边平方，消去根号，就得到圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²。
现在我们将圆的标准方程展开为一般形式。从标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²开始，展开左边的完全平方式，得到x²-2ax+a²+y²-2by+b²=r²。移项整理后得到x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0。令D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-r²，就得到圆的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0。通过一个具体例子来验证：圆心(2,1)半径3的圆，标准方程为(x-2)²+(y-1)²=9，展开后得到x²+y²-4x-2y-4=0。
现在学习如何从一般方程还原为标准方程的配方法。给定一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，首先移项得到x²+Dx+y²+Ey=-F。然后分别对x和y项配方，在等式两边同时加上D²/4和E²/4，得到完全平方式。整理后得到(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4。当判别式D²+E²-4F大于0时，这个方程表示一个圆。圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为根号下(D²+E²-4F)除以2。通过一个具体例子来演示配方过程。
在实际应用中，圆心位于特殊位置时，圆的方程会有简化形式。当圆心在原点时，方程简化为x²+y²=r²。当圆心在x轴上时，方程为(x-a)²+y²=r²。当圆心在y轴上时，方程为x²+(y-b)²=r²。当圆与x轴相切时，圆心的y坐标等于半径，方程为(x-a)²+(y-r)²=r²。当圆与y轴相切时，圆心的x坐标等于半径，方程为(x-r)²+(y-b)²=r²。这些特殊情况在解题中经常遇到。