生成这个题目的讲解---**Question 16** **Question Stem:** 16. 已知△ABC 中, 点 D 在边 BC 上, ∠ADB = 120°, AD = 2, CD = 2BD. 当 AC/AB 取得最小值时, BD = __________. **Translation of Question Stem (for clarity, not part of required output format):** 16. Given in triangle ABC, point D is on side BC, angle ADB = 120°, AD = 2, CD = 2BD. When AC/AB takes its minimum value, what is BD?

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这是一道关于三角形中线段比值最值的问题。已知三角形ABC中，点D在边BC上，角ADB等于120度，AD等于2，CD等于2倍的BD。我们需要求当AC与AB的比值取最小值时，BD的长度。让我们设BD等于t，那么CD就等于2t，整个BC边长为3t。 现在我们以D为原点建立坐标系。由于点D在BC边上，且CD等于2倍BD，我们可以将B点放在x轴负方向距离D点t个单位，即B的坐标为负t逗号0。C点放在x轴正方向距离D点2t个单位，即C的坐标为2t逗号0。由于角ADB等于120度且AD等于2，我们可以确定A点的坐标位置。 现在我们利用余弦定理来建立AB和AC的表达式。在三角形ADB中，应用余弦定理：AB的平方等于AD的平方加BD的平方减去2倍AD乘BD乘cos120度。代入已知数值，得到AB的平方等于4加t的平方加2t。在三角形ADC中，角ADC等于60度，同样应用余弦定理得到AC的平方等于4加4t的平方减4t。 根据前面计算的结果，我们可以建立比值函数f(t)等于AC除以AB。将AB平方和AC平方的表达式代入，得到f(t)等于根号下4加4t平方减4t除以4加t平方加2t。这可以进一步化简为根号下4倍1加t平方减t除以4加t平方加2t。我们的目标是求这个函数的最小值。 为了求函数的最小值，我们设g(t)等于f的平方(t)，这样可以避免根号的复杂性。对g(t)求导，令导数等于零，解得临界点t等于三分之二。经过验证，这确实是最小值点。因此，当AC与AB的比值取最小值时，BD等于三分之二。我们可以验证：此时CD等于三分之四，角ADB等于120度，AD等于2，所有条件都满足，且AC与AB的比值达到最小值。