： ### 一、题目分析 本题围绕四面体中的向量表示与四点共面证明展开，涉及重心、中点性质及向量运算，还有空间向量共面判定定理（若存在实数\(x,y\)，使\(\overrightarrow{MP}=x\overrightarrow{MQ}+y\overrightarrow{MR}\)，则\(P,Q,R,M\)共面 ）。 ### 二、(1) 用\(\boldsymbol{\vec{a}},\boldsymbol{\vec{b}},\boldsymbol{\vec{c}}\)表示\(\boldsymbol{\overrightarrow{MN}}\)、\(\boldsymbol{\overrightarrow{OG}}\) #### 1. 求\(\boldsymbol{\overrightarrow{MN}}\) - 因为\(M\)是\(AB\)中点，\(N\)是\(OB\)中点，根据向量减法（三角形法则），\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\) 。 - 由中点向量性质，\(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)（\(M\)为\(AB\)中点，\(\overrightarrow{OM}\)是\(\overrightarrow{OA}\)与\(\overrightarrow{OB}\)和的一半 ），\(\overrightarrow{ON}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\)（\(N\)为\(OB\)中点 ）。 - 把\(\overrightarrow{OM}\)、\(\overrightarrow{ON}\)代入\(\overrightarrow{MN}\)表达式： \[ \begin{align*} \overrightarrow{MN}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\\ &=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}\\ &=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\\ &=-\frac{1}{2}\boldsymbol{\vec{a}} \end{align*} \] #### 2. 求\(\boldsymbol{\overrightarrow{OG}}\) - 因为\(G\)是\(\triangle ABC\)重心，根据重心性质，重心分中线比为\(2:1\)，即\(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\) 。 - 先求\(\overrightarrow{AD}\)，\(D\)是\(BC\)中点，所以\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}\)，又\(\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)（\(D\)为\(BC\)中点，\(\overrightarrow{OD}\)是\(\overrightarrow{OB}\)与\(\overrightarrow{OC}\)和的一半 ），则\(\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\overrightarrow{OA}\) 。 - 那么\(\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}\)，将\(\overrightarrow{AD}\)代入： \[ \begin{align*} \overrightarrow{OG}&=\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\left[\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\overrightarrow{OA}\right]\\ &=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})-\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}\\ &=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\\ &=\frac{1}{3}\boldsymbol{\vec{a}}+\frac{1}{3}\boldsymbol{\vec{b}}+\frac{1}{3}\boldsymbol{\vec{c}} \end{align*} \] ### 三、(2) 证明\(M,N,G,H\)四点共面 #### 1. 先求相关向量 - 求\(\overrightarrow{MH}\)：\(H\)是\(\triangle OBC\)重心，\(D\)是\(BC\)中点，所以\(\overrightarrow{OH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OD}\)，\(\overrightarrow{OD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\)，则\(\overrightarrow{OH}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\) 。又\(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})\)，所以\(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{OH}-\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}) - \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{\vec{a}}-\frac{1}{6}\boldsymbol{\vec{b}}+\frac{1}{3}\boldsymbol{\vec{c}}\) 。 - 求\(\overrightarrow{MG}\)：\(\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{OG}-\overrightarrow{OM}\)，\(\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{\vec{a}}+\boldsymbol{\vec{b}}+\boldsymbol{\vec{c}})\)，\(\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{\vec{a}}+\boldsymbol{\vec{b}})\)，则\(\overrightarrow{MG}=\frac{1}{3}(\boldsymbol{\vec{a}}+\boldsymbol{\vec{b}}+\boldsymbol{\vec{c}})-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\vec{a}}+\boldsymbol{\vec{b}})=-\frac{1}{6}\boldsymbol{\vec{a}}-\frac{1}{6}\boldsymbol{\vec{b}}+\frac{1}{3}\boldsymbol{\vec{c}}\) 。 - 已知\(\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{2}\boldsymbol{\vec{a}}\) 。 #### 2. 尝试用\(\overrightarrow{MN}\)、\(\overrightarrow{MG}\)表示\(\overrightarrow{MH}\) 设\(\overrightarrow{MH}=x\overrightarrow{MN}+y\overrightarrow{MG}\)，即： \[ \begin{align*} -\frac{1}{2}\boldsymbol{\vec{a}}-\frac{1}{6}\boldsymbol{\vec{b}}+\frac{1}{3}\boldsymbol{\vec{c}}&=x\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{\vec{a}}\right)+y\left(-\frac{1}{6}\boldsymbol{\vec{a}}-\frac{1}{6}\boldsymbol{\vec{b}}+\frac{1}{3}\boldsymbol{\vec{c}}\right)\\ &=\left(-\frac{x}{2}-\frac{y}{6}\right)\boldsymbol{\vec{a}}-\frac{y}{6}\boldsymbol{\vec{b}}+\frac{y}{3}\boldsymbol{\vec{c}} \end{align*} \] 根据向量相等（对应分量相等 ），列方程组： \(\begin{cases}-\frac{x}{2}-\frac{y}{6}=-\frac{1}{2}&(1)\\-\frac{y}{6}=-\frac{1}{6}&(2)\\\frac{y}{3}=\frac{1}{3}&(3)\end{cases}\) 由\((2)\)得\(y = 1\)，代入\((1)\)：\(-\frac{x}{2}-\frac{1}{6}=-\frac{1}{2}\)，解得\(x=\frac{2}{3}\) 。 所以\(\overrightarrow{MH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MG}\) ，根据空间向量共面判定定理，存在实数\(\frac{2}{3}\)和\(1\)，使\(\overrightarrow{MH}\)能用\(\overrightarrow{MN}\)、\(\overrightarrow{MG}\)线性表示，故\(M,N,G,H\)四点共面 。