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我们来分析函数f(x) = x³ - 3x + 1。首先求出它的一阶导数f'(x) = 3x² - 3，这将帮助我们找到函数的极值点。从图像可以看出，这是一个三次函数，具有典型的S形曲线。
为了找到极值点，我们令一阶导数等于零。解方程3x² - 3 = 0，得到x² = 1，所以x = ±1。接下来用二阶导数判别法：f''(x) = 6x。在x = -1处，f''(-1) = -6小于0，所以是极大值点；在x = 1处，f''(1) = 6大于0，所以是极小值点。
现在计算具体的极值。对于极大值点x = -1：f(-1) = (-1)³ - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3，所以极大值点为(-1, 3)。对于极小值点x = 1：f(1) = 1³ - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1，所以极小值点为(1, -1)。图像上用红色标记极大值点，绿色标记极小值点。
现在分析方程f(x) = 0的解，即x³ - 3x + 1 = 0。我们已知f(-1) = 3大于0，f(1) = -1小于0。由于函数连续，根据中间值定理，在区间(-1, 1)内必定存在至少一个零点，使得函数值从正数变为负数。图中红线表示y = 0，黄色区域标示可能存在零点的区间。
通过分析函数的单调性可以确定零点个数。当x小于-1时，f'(x)大于0，函数递增；当x在-1到1之间时，f'(x)小于0，函数递减；当x大于1时，f'(x)大于0，函数递增。结合我们已知的极值f(-1) = 3和f(1) = -1，可以确定函数有且仅有一个零点。通过数值方法可以求得这个零点约为x = -1.879。