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排列组合是高中数学的重要内容。排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按一定顺序排成一列，用A下标n上标m表示，公式是n的阶乘除以n减m的阶乘。组合是指从n个不同元素中取出m个元素组成一个集合，不考虑顺序，用C下标n上标m表示。关键区别在于：排列考虑顺序，组合不考虑顺序。比如从5个人中选3个人排队，这是排列问题；而选3个人组成小组，这是组合问题。
现在我们来推导排列组合的公式。对于排列，我们用乘法原理：第一个位置有n种选择，第二个位置有n减1种选择，依此类推，第m个位置有n减m加1种选择。所以排列数等于n乘以n减1乘以一直到n减m加1，这等于n的阶乘除以n减m的阶乘。对于组合公式，由于组合不考虑内部顺序，所以组合数等于排列数除以m的阶乘，最终得到n的阶乘除以m的阶乘乘以n减m的阶乘。通过树状图可以直观看到这个计算过程。
二项式定理是代数中的重要定理，它给出了二项式的n次幂的展开公式。通用形式是括号a加b的n次方等于从k等于0到n求和，C下标n上标k乘以a的n减k次方乘以b的k次方。让我们看具体例子：a加b的平方展开为a平方加2ab加b平方，系数是1、2、1。a加b的三次方展开后系数是1、3、3、1。这些系数构成了著名的帕斯卡三角形，每个数都等于上方两个数的和。二项式系数实际上就是组合数。
二项式定理有几个重要性质。首先是对称性：C下标n上标k等于C下标n上标n减k，这反映在帕斯卡三角形中每行都是对称的。其次是系数和性质：所有二项式系数的和等于2的n次方，这可以通过令x等于1代入二项式定理得到。第三是奇偶项系数性质：奇数位置的系数和等于偶数位置的系数和，都等于2的n减1次方，这通过令x等于负1代入得到。我们用n等于4的例子来验证这些性质。
古典概型是概率论中最基础的概率模型。它有两个基本特征：第一，试验的所有可能结果是有限的；第二，每个基本事件发生的可能性相等。古典概型的概率计算公式是：事件A的概率等于A包含的基本事件数除以基本事件总数。掷骰子是典型的古典概型：样本空间是1到6，每个结果等可能。如果事件A是掷出偶数，那么A包含2、4、6三个基本事件，所以概率是三分之一等于二分之一。抽卡片实验也是古典概型的例子。