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和相等差小积大是一个重要的数学规律。当两个数的和保持不变时，它们的差越小，乘积就越大。让我们通过具体例子来理解这个概念。比如5加5等于10，差为0，积为25。而4加6也等于10，但差为2，积只有24。可以看出，差越小，积越大。
现在我们从数学角度来证明这个定理。设两个数为a和b，它们的和为定值S。当差为d时，我们可以表示为a等于S加d除以2，b等于S减d除以2。计算它们的积，得到ab等于S的平方减去d的平方，再除以4。从这个公式可以看出，当d等于0时，积达到最大值。这形成了一个开口向下的抛物线关系。
从几何角度来理解，两个数的积等于以这两数为边长的矩形面积。在周长固定的情况下，当矩形越接近正方形时，也就是长宽差距越小时，面积就越大。让我们通过动画来观察这个变化过程。可以看到，当长宽相等时，矩形变成正方形，此时面积达到最大值。
和相等差小积大原理在实际生活中有广泛应用。最典型的是农田围栏问题：用固定长度的围栏围成矩形，如何使面积最大？还有商品定价策略等。让我们分析围栏问题：用100米围栏围矩形，不同的长宽组合会产生不同面积。40乘10得400，35乘15得525，30乘20得600，25乘25得625。可以看出，当围成正方形时面积最大，这正体现了差小积大的原理。
让我们总结和相等差小积大的核心要点。当两个数的和相等时，它们的差越小，积就越大；当两数相等时，积达到最大值。从几何角度看，这意味着正方形在所有同周长矩形中面积最大。这个原理是均值不等式的特殊情况，在优化问题中有广泛应用，也与二次函数的最值问题密切相关。它不仅是数学优化的基础工具，更是解决实际问题的重要方法，体现了数学思维的精髓。