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圆是平面几何中最基本的图形之一。从几何角度来看，圆的定义是：平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。这个定点我们称为圆心，用字母O表示；这个定长我们称为半径，用字母r表示。现在让我们看看圆是如何形成的。
现在我们来推导圆的标准方程。首先建立坐标系，设圆心为点(a,b)，半径为r。在圆上任取一点(x,y)，根据圆的定义，这个点到圆心的距离等于半径r。利用两点间距离公式，我们得到根号下(x-a)的平方加(y-b)的平方等于r。将等式两边平方，消去根号，就得到了圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²。
现在我们来分析一个特殊情况：当圆心在原点时。此时圆心坐标为(0,0)，标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²就简化为x²+y²=r²。这是圆的方程中最简单的形式。让我们看几个具体例子：当半径r等于1时，方程为x²+y²=1；当r等于2时，方程为x²+y²=4；当r等于3时，方程为x²+y²=9。这些都是以原点为圆心的同心圆。
除了标准方程，圆还有一般方程形式。将标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²展开，得到x²-2ax+a²+y²-2by+b²=r²。整理后可写成x²+y²+Dx+Ey+F=0的形式，这就是圆的一般方程。其中D等于负2a，E等于负2b，F等于a²+b²-r²。由此可得圆心坐标为(-D/2, -E/2)，半径为根号下(D²+E²-4F)除以2。标准方程和一般方程是圆的两种不同表示形式。
现在我们通过两个具体例题来巩固圆的方程知识。例题1：已知圆心坐标为(2,-1)，半径为3，求圆的方程。直接代入标准方程公式，得到(x-2)²+(y+1)²=9。例题2：已知圆的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，求圆心和半径。这是一般方程形式，我们有D=-4，E=6，F=-3。根据公式，圆心坐标为(2,-3)，半径为4。通过这两个例题，我们可以看到标准方程和一般方程之间的相互转换。