生成这个题目的讲解---**Question 14** **Question Stem:** 若双曲线 y² - (x²/m²) = 1 (m > 0) 的渐近线与圆 x² + y² - 4y + 3 = 0 相切, 则 m = ____. **Mathematical Formulas/Equations:** * Hyperbola equation: y² - (x²/m²) = 1 * Condition for m: m > 0 * Circle equation: x² + y² - 4y + 3 = 0 **Other Relevant Text:** The question asks to find the value of `m` if the asymptotes of the given hyperbola are tangent to the given circle.

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我们来分析双曲线方程 y² - x²/m² = 1。这是纵轴型双曲线的标准形式，其中 m 大于 0。双曲线有两个顶点，分别位于 (0,1) 和 (0,-1)。双曲线的渐近线方程为 y = ±x/m，这些直线是双曲线在无穷远处的渐近方向。 现在处理圆的方程 x² + y² - 4y + 3 = 0。我们需要通过配方法将其转换为标准形式。首先将 y 的项分组，然后配方：y² - 4y 需要加上 4 来完成平方，同时减去 4 保持等式平衡。最终得到 x² + (y - 2)² = 1，这表示圆心在 (0, 2)，半径为 1 的圆。 要使渐近线与圆相切，需要满足直线与圆相切的条件：圆心到直线的距离等于圆的半径。渐近线 y = x/m 可以写成一般式 x - my = 0。利用点到直线距离公式，圆心 (0, 2) 到直线的距离为 |0 - m×2| 除以根号下 1 + m²。建立切线条件：这个距离等于半径 1。 现在详细计算圆心到直线的距离。圆心 (0, 2) 到直线 x - my = 0 的距离为 2m 除以根号下 1 + m²。建立切线条件方程：2m 除以根号下 1 + m² 等于 1。解这个方程：两边同时乘以根号下 1 + m²，得到 2m = 根号下 1 + m²。两边平方得 4m² = 1 + m²，化简得 3m² = 1，所以 m² = 1/3，因此 m = 根号3 除以 3。 让我们验证解 m = 根号3除以3 的正确性。将此值代入，渐近线方程为 y = ±根号3x除以3。完整的图形显示：双曲线及其渐近线与圆确实相切。解题步骤总结：首先确定双曲线渐近线，然后将圆标准化，接着建立切线条件，最后求解参数。关键在于运用点到直线距离公式建立切线条件方程。