生成这个题目的讲解---**Question 5** **Question Stem:** 已知向量a = (1, -1), 向量b = (1, 3), 则向量a在向量b上的投影向量为 **Translation of Question Stem:** Given vector a = (1, -1) and vector b = (1, 3), what is the projection vector of a onto b? **Mathematical Formulas/Expressions in Question Stem:** * Vector a: (1, -1) * Vector b: (1, 3) * Concept: Projection vector of a onto b (denoted as proj_b a). The formula is (a · b / |b|^2) * b. **Options:** * A: (-1/5, -3/5) * B: (1/5, 3/5) * C: (-√10/5, -3√10/5) * D: (√10/5, 3√10/5)

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向量投影是向量运算中的重要概念。简单来说，向量投影就是一个向量在另一个向量方向上的影子。就像阳光照射物体产生影子一样，向量a在向量b上的投影，就是向量a沿着垂直于向量b方向投下的影子。投影向量的方向与原向量b相同或相反，但长度通常会发生变化。 向量投影有标准的计算公式。向量a在向量b上的投影向量等于向量a与向量b的数量积，除以向量b模长的平方，再乘以向量b。这个公式的几何意义是：先计算投影的长度，然后确定投影的方向。现在我们来看具体的题目：已知向量a等于1逗号负1，向量b等于1逗号3，求向量a在向量b上的投影向量。 现在我们按步骤来计算。第一步，计算数量积a点乘b。向量a等于1逗号负1，向量b等于1逗号3，所以a点乘b等于1乘以1加上负1乘以3，等于1减3，等于负2。第二步，计算向量b的模长平方。b的模长平方等于1的平方加上3的平方，等于1加9，等于10。第三步，计算投影向量。投影向量等于负2除以10乘以向量b，等于负五分之一乘以向量b，等于负五分之一逗号负五分之三。 通过计算，我们得到向量a在向量b上的投影向量为负五分之一逗号负五分之三。从几何角度验证，由于投影系数为负五分之一，说明投影向量的方向与向量b相反，这在图中可以清楚地看到。投影向量指向第三象限，而原向量b指向第一象限。因此，正确答案是选项A：负五分之一逗号负五分之三。 现在我们来推导投影向量的计算公式。投影向量等于向量a与向量b的数量积，除以向量b模长的平方，再乘以向量b。这个公式有清晰的几何意义：首先，数量积a点乘b计算出投影的长度；然后除以b的模长平方进行标准化；最后乘以向量b来确定投影的方向。通过这个公式，我们可以精确计算任意两个向量之间的投影关系。 现在我们来分析题目的具体条件。已知向量a等于括号1逗号负1括号，向量b等于括号1逗号3括号。我们需要求解向量a在向量b上的投影向量。从坐标系中可以看出，向量a指向第四象限，终点坐标为1逗号负1；向量b指向第一象限，终点坐标为1逗号3。通过观察可以发现，这两个向量的夹角大于90度，是钝角，这意味着投影向量的方向将与向量b相反。 现在我们完成完整的计算过程。第一步，计算数量积：向量a点乘向量b等于1乘以1加上负1乘以3，等于1减3，结果是负2。第二步，计算向量b的模长平方：等于1的平方加上3的平方，等于1加9，结果是10。第三步，计算投影向量：等于负2除以10乘以向量b，等于负五分之一乘以括号1逗号3括号，最终结果是负五分之一逗号负五分之三。这对应选项A。 通过完整的计算，我们得到向量a在向量b上的投影向量为负五分之一逗号负五分之三。让我们验证这个结果：由于投影系数为负数，说明投影向量的方向与向量b相反，这与两向量夹角为钝角的几何事实一致。投影向量位于第三象限，符合我们的预期。因此，正确答案是选项A。解决向量投影问题的关键在于：掌握投影公式，正确计算数量积和模长，并理解其几何意义。