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欢迎来到今天的数学课堂！今天我们将学习二次函数的图像与性质。我们的课程包括五个主要部分：首先学习二次函数的定义，然后分析图像特征，接着掌握顶点坐标和对称轴的求法，最后通过实际应用来巩固所学知识。让我们从这个美丽的抛物线开始我们的数学之旅吧！
二次函数的标准形式是f(x)等于ax²加bx加c，其中a是二次项系数且不等于零，b是一次项系数，c是常数项。参数a决定抛物线的开口方向和开口大小：当a大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。a的绝对值越大，抛物线越窄；绝对值越小，抛物线越宽。让我们通过动画来观察这些变化。
现在让我们学习如何绘制二次函数的图像。以f(x)等于x²减4x加3为例。首先选择一些x值，比如0到4；然后计算对应的y值；接着列出坐标表。我们得到关键点：(0,3)、(1,0)、(2,-1)、(3,0)、(4,3)。在坐标系中标出这些点，然后用平滑的曲线连接，就得到了完整的抛物线。注意抛物线的对称性和连续性。
顶点是二次函数图像的最高点或最低点。顶点的横坐标公式是x等于负b除以2a，纵坐标公式是y等于4ac减b²再除以4a。对称轴方程是x等于负b除以2a。在顶点式f(x)等于a乘以x减h的平方加k中，h和k分别表示顶点的横坐标和纵坐标。让我们通过动画观察不同函数的顶点位置变化。
让我们总结二次函数的主要性质：开口方向由a的符号决定，顶点坐标可用公式计算，对称轴方程是x等于负b除以2a，最值在顶点处取得。现在看一个实际应用：某商品的利润函数是P(x)等于负2x²加80x减600。要求最大利润，我们找到顶点横坐标x等于20，代入得最大利润为200。这展示了二次函数在实际问题中的重要应用。