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欧拉恒等式，e的i倍π次方加1等于0，被誉为数学中最美丽的公式。这个简洁的等式神奇地连接了数学中五个最重要的常数：自然对数底e、虚数单位i、圆周率π、乘法单位1和加法单位0。它将分析学、代数学、几何学和算术完美地统一在一个公式中，展现了数学的深刻美感和内在联系。
复数是形如a加bi的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i的平方等于负1。在复平面上，横轴表示实轴，纵轴表示虚轴。每个复数对应复平面上的一个点，复数的模长是从原点到该点的距离，幅角是向量与实轴的夹角。这种几何表示为理解欧拉公式提供了直观基础。
欧拉公式可以通过泰勒级数推导得出。指数函数、正弦函数和余弦函数都有各自的级数展开式。将ix代入指数函数的级数展开，利用虚数单位i的幂次规律，可以将实部和虚部分离。实部项恰好对应余弦函数的级数，虚部项对应正弦函数的级数，从而得到欧拉公式：e的ix次方等于余弦x加i倍正弦x。
欧拉公式的几何意义非常直观。e的ix次方表示单位圆上与实轴成x弧度角的点。当x从0变化到2π时，这个点沿着单位圆运动一周。点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。这样，复指数函数就将角度与单位圆上的点建立了一一对应关系，为复数运算提供了几何直观。
现在我们从一般的欧拉公式推导出著名的欧拉恒等式。当x等于π时，余弦π等于负1，正弦π等于0。因此e的iπ次方等于负1加i乘以0，也就是负1。移项后得到e的iπ次方加1等于0。在单位圆上，π角度对应的点正是负1加0i，这个特殊位置完美地体现了欧拉恒等式的几何意义。