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曼哈顿距离是一种重要的距离度量方式，它的名字来源于纽约曼哈顿区的街道网格系统。在这种距离计算中，我们只能沿着水平或垂直方向移动，就像在城市街道中行走一样。与欧几里得距离的直线路径不同，曼哈顿距离反映了实际生活中更常见的移动方式。
现在我们来详细推导曼哈顿距离的公式。对于平面上的两点P1和P2，曼哈顿距离等于x方向距离的绝对值加上y方向距离的绝对值。首先计算x方向的距离，然后计算y方向的距离，最后将两个距离相加。绝对值的作用是确保距离始终为正数，无论点的相对位置如何。
让我们通过三个具体例子来练习曼哈顿距离的计算。第一个例子使用正数坐标，从A点到B点的距离为6。第二个例子涉及负数坐标，从C点到D点的距离也是6。第三个例子是混合坐标，从E点到F点的距离为7。注意绝对值运算确保了所有距离都是正数，无论坐标的正负性如何。
曼哈顿距离的几何意义是在网格系统中从一点到另一点的最短路径长度。有趣的是，通常存在多条长度相等的最短路径。例如从A点到B点，我们可以先向右再向上，也可以先向上再向右，还可以采用其他组合方式。所有这些路径的长度都等于曼哈顿距离。路径的总数可以用组合数公式计算，等于C下标m加n上标m，其中m是水平步数，n是垂直步数。
曼哈顿距离在实际生活中有广泛的应用。在城市规划和GPS导航中，它更准确地反映了沿街道行驶的实际距离。在机器学习领域，曼哈顿距离常用于计算特征向量间的相似性，特别适合处理高维稀疏数据。在图像处理中，它用于计算像素间的距离，帮助进行图像分割和边缘检测。在数据分析中，曼哈顿距离对异常值更加鲁棒，常用于异常检测和模式识别任务。