视频字幕
二重积分是对二元函数在平面区域上的积分。从几何角度看，它表示函数z等于f(x,y)在区域D上形成的曲面体积。数学上，我们将区域D分割成许多小矩形，每个小矩形上函数值与面积的乘积，然后对所有这些乘积求和，当分割越来越细时，这个和的极限就是二重积分的值。
二重积分的计算通常使用逐次积分法。我们可以将二重积分转化为两个单重积分的嵌套计算。首先确定积分区域的边界，然后选择适当的积分次序。如果先对y积分再对x积分，就要找到每个x值对应的y的取值范围，然后依次进行积分计算。
让我们通过一个具体例子来演示二重积分的计算过程。计算函数f(x,y)=xy在三角形区域D上的二重积分，其中D由x=0、x=2、y=0、y=x围成。首先确定积分区域的边界，然后设置逐次积分。先对y从0到x积分，得到关于x的函数，再对x从0到2积分，最终得到结果为2。
二重积分有广泛的实际应用。它可以用来计算平面区域的面积、薄板的质量、曲面下的体积，以及物体的质心坐标。在实际问题中，我们经常需要根据问题的对称性选择合适的坐标系，比如使用极坐标来简化计算。二重积分是多元微积分的核心工具，在物理、工程、经济等众多领域都有重要应用。
在直角坐标系下计算二重积分时，需要根据积分区域的形状选择合适的积分次序。对于X型区域，x的范围是固定的，而y的范围依赖于x，此时先对y积分再对x积分比较方便。对于Y型区域，y的范围是固定的，而x的范围依赖于y，此时先对x积分再对y积分更合适。正确选择积分次序可以大大简化计算过程。
在计算二重积分时，首先要分析积分区域的类型和特点。矩形区域是最简单的，积分限都是常数。三角形区域通常由直线围成，需要确定边界直线方程。圆形区域适合使用极坐标变换。对于一般的不规则区域，需要仔细分析边界曲线，选择合适的积分次序或坐标变换来简化计算。正确的区域分析是成功计算二重积分的关键。
让我们通过一个完整的例子来演示二重积分的计算过程。计算函数x+y在三角形区域D上的二重积分，其中D由y=0、x=1、y=x围成。首先确定积分区域的范围，然后设置逐次积分。先对y从0到x积分，得到x的二次函数，再对x从0到1积分，最终得到结果二分之一。这个例子展示了二重积分计算的完整流程。
总结一下二重积分的计算方法。在直角坐标系下，适用于矩形、三角形等规则区域，关键是选择合适的积分次序。对于圆形、扇形等对称区域，极坐标变换往往更有效，但要注意雅可比行列式r。选择方法时要分析区域形状，考虑被积函数特点，确定积分次序和积分限。二重积分广泛应用于面积、体积、质量、质心等计算，是多元微积分的重要工具。