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一元二次方程的标准形式是ax²+bx+c=0，其中a不等于0。我们可以用求根公式来求解，公式中根号内的表达式b²-4ac叫做判别式，它决定了方程根的性质。让我们看一个例子：x²-5x+6=0，计算判别式得到1，所以方程有两个不相等的实根3和2。
判别式Delta等于b²减4ac，它决定了一元二次方程根的情况。当Delta大于0时，方程有两个不相等的实根；当Delta等于0时，方程有两个相等的实根，也叫重根；当Delta小于0时，方程无实根。让我们通过三个例子来验证：第一个方程判别式为1大于0，有两个不相等实根；第二个方程判别式为0，有重根；第三个方程判别式为负3小于0，无实根。
根据根的情况求系数范围的关键是正确列出判别式不等式。如果要求两个不相等实根，则Delta大于0；如果要求有实根，则Delta大于等于0；如果要求无实根，则Delta小于0。让我们看一个例子：当k为何值时方程kx²+2x+1=0有两个不相等实根？首先k不等于0保证是二次方程，然后列出判别式4减4k大于0，解得k小于1，所以答案是k小于1且k不等于0。
综合应用中要注意解题的规范步骤。我们来看这个例题：当k为何值时，方程kx²加2k减1乘以x加k减1等于0有两个不相等实根？首先确定k不等于0保证是二次方程；然后计算判别式，展开得到2k减1的平方减4k乘以k减1，化简后等于1；由于要求两个不相等实根，需要判别式大于0，即1大于0，这个不等式恒成立；综合所有条件，答案是k不等于0。
根据具体数字系数判断方程根的情况需要快速准确地计算判别式。我们来看三个例子：第一个方程x²减5x加6等于0，判别式等于25减24等于1大于0，所以有两个不相等实根；第二个方程2x²减4x加3等于0，判别式等于16减24等于负8小于0，所以无实根；第三个方程x²减6x加9等于0，判别式等于36减36等于0，所以有两个相等实根。掌握这种快速判断方法对解题很有帮助。