线性回归是机器学习中最基础的算法之一。它的目标是找到一条直线，能够最好地拟合给定的数据点。线性回归的数学表达式是 y 等于 w 乘以 x 加上 b，其中 w 是权重参数，表示直线的斜率，b 是偏置参数，表示直线的截距。通过调整这两个参数，我们可以得到不同的拟合直线。
损失函数是机器学习中的核心概念，它量化了模型预测值与真实值之间的差异。在线性回归中，我们通常使用均方误差作为损失函数。公式中，y_i是真实值，y帽_i是预测值。橙色虚线表示每个数据点的预测误差。当我们改变参数w和b时，拟合直线会发生变化，损失函数的值也会相应改变。我们的目标就是找到使损失函数最小的参数组合。
梯度是多元函数在某一点处的方向导数向量，它指向函数值增长最快的方向。在损失函数优化中，梯度告诉我们如何调整参数能使损失函数增长最快。由于我们要最小化损失函数，所以我们沿着负梯度方向更新参数。图中绿色箭头表示负梯度方向，黄色点沿着这个方向移动可以找到损失函数的最小值。颜色从蓝到红表示损失函数值从小到大的变化。
梯度下降算法是一种迭代优化算法，用于寻找函数的最小值。算法的核心是参数更新公式：θ等于θ减去α乘以梯度。其中α是学习率，控制每次更新的步长大小。图中等高线表示损失函数的不同取值，红色路径显示了参数从初始点逐步向最优解收敛的过程。绿色点表示当前参数位置，可以看到它沿着负梯度方向不断移动，最终到达损失函数的最小值点。
梯度下降算法的具体实现包含六个关键步骤。首先初始化参数w和b，然后计算预测值，接着计算损失函数，求出梯度，更新参数，最后重复这个过程直到收敛。右侧动画展示了算法的执行过程：红色直线从初始的不合适位置开始，通过多次迭代逐步调整参数，拟合效果越来越好，损失函数值不断下降，最终收敛到最优解。这就是梯度下降算法在线性回归中的完整应用过程。