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圆是平面几何中最基本的图形之一。圆的定义是：平面上到定点距离等于定长的所有点的集合。这个定点叫做圆心，用字母O表示；定长叫做半径，用字母r表示；通过圆心的弦叫做直径，直径等于两倍半径。
为了推导圆的周长公式，我们使用正多边形逼近的方法。将正多边形内接于圆中，随着边数的增加，正多边形越来越接近圆形。当边数趋向无穷大时，正多边形的周长就等于圆的周长。这种极限思想是微积分的基础。
现在我们来计算正n边形的周长。将正n边形从圆心分解为n个全等的等腰三角形，每个三角形的顶角为2π除以n。利用三角函数，可以得出每个三角形的底边长为2r乘以sin(π/n)。因此，正n边形的周长等于n乘以底边长，即2nr乘以sin(π/n)。
现在我们通过极限过程来推导圆周长的精确公式。当边数n趋向无穷大时，正n边形的周长趋向于圆的周长。利用重要极限：当x趋向于0时，sinx除以x的极限等于1。令x等于π除以n，通过极限运算可以得出：圆的周长等于2πr。
圆周率π定义为圆周长与直径的比值，这个比值对所有圆都是常数，约等于3.14159。由此得出圆周长公式C等于2πr。让我们看两个应用实例：第一个例子，已知半径为5厘米，周长等于2π乘以5，约为31.4厘米。第二个例子，已知周长为31.4厘米，半径等于周长除以2π，约为5厘米。