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我们需要在长度为100的线段上放置三条不同长度的线段：50、62和75。目标是找到这三条线段共同重叠部分的最短长度。我们设三条线段的起始位置分别为a、b、c，通过建立数学模型来分析这个问题。
现在分析三条线段的位置约束条件。设线段A长50，起始位置为a，则a的范围是0到50。线段B长62，起始位置为b，则b的范围是0到38。线段C长75，起始位置为c，则c的范围是0到25。这些约束确保每条线段都完全在长度100的基准线段内。
三条线段重叠区域的计算需要找到左端点和右端点。左端点是三个起始位置的最大值，右端点是三个结束位置的最小值。重叠长度等于右端点减去左端点。通过一个具体例子：当a等于10，b等于15，c等于20时，重叠长度为60减去20等于40。
要使重叠长度最小，需要使三个起始位置的最大值尽可能大，同时使三个结束位置的最小值尽可能小。关键洞察是最短重叠长度出现在某条线段到达其移动范围边界时。我们需要考虑三种临界配置：线段A到达右边界、线段B到达右边界、线段C到达右边界。
现在计算三种临界情况的重叠长度。情况一：当a等于50时，重叠长度为62减50等于12。情况二：当b等于38时，重叠长度为50减38等于12。情况三：当c等于25时，重叠长度为50减25等于25。比较三种情况，最短重叠长度为12。因此，三条线段最短的重叠长度是12。