解答这道题---**Question 5:** 已知曲线 C: x² + y² = 16 (y > 0), 从 C 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段 PP', P' 为垂足, 则线段 PP' 的中点 M 的轨迹方程为 ( ) **Options:** A. x²/16 + y²/4 = 1 (y > 0) B. x²/16 + y²/8 = 1 (y > 0) C. y²/16 + x²/4 = 1 (y > 0) D. y²/16 + x²/8 = 1 (y > 0)

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这道题要求我们找到线段中点的轨迹方程。已知曲线C是上半圆，半径为4。从圆上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'是垂足。我们需要找到线段PP'中点M的轨迹方程。让我们先建立几何直观。 现在我们建立坐标系统。设P点坐标为(x₀, y₀)，由于P在上半圆上，满足x₀²+y₀²=16且y₀>0。P'是P在x轴上的垂足，所以P'的坐标为(x₀, 0)。线段PP'的中点M的坐标就是(x₀, y₀/2)。这样我们就建立了P点与M点坐标之间的关系。 现在用参数消除法推导轨迹方程。设M点坐标为(x, y)，则x等于x₀，y等于y₀的一半，所以y₀等于2y。将这些关系代入原圆的方程x₀²+y₀²=16，得到x²+(2y)²=16，即x²+4y²=16。整理后得到x²/16+y²/4=1，这就是一个椭圆方程。 现在确定定义域。由于原曲线限制y₀大于0，而y等于y₀的一半，所以y也大于0。因此M点的轨迹方程为x²/16+y²/4=1且y>0。这是一个上半椭圆，长半轴a等于4，短半轴b等于2，长轴在x轴上。 最后验证答案的正确性。验证几个特殊点：当P为(4,0)时，M为(4,0)；当P为(0,4)时，M为(0,2)；当P为(-4,0)时，M为(-4,0)。这个变换的几何意义是将上半圆在y方向压缩一半，得到上半椭圆。因此最终答案是x²/16+y²/4=1且y>0，选择A。