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在直角三角形中，我们定义正弦为对边与斜边的比值。当角度θ发生变化时，这个比值也会相应变化，这种变化规律就引出了正弦函数的概念。正弦函数描述了角度与其正弦值之间的对应关系。
正弦函数y等于sin x具有以下基本性质：定义域为全体实数，值域为负一到正一的闭区间，周期为2π。从图像可以看出，函数经过关键点：原点、π/2处取最大值1、π处回到0、3π/2处取最小值负1、2π处又回到0，体现了其周期性特征。
我们来求几个特殊角的正弦值。利用单位圆，30度角对应的点的y坐标为二分之一，所以sin π/6等于1/2。45度角对应点的y坐标为根号2除以2，所以sin π/4等于√2/2。60度角对应点的y坐标为根号3除以2，所以sin π/3等于√3/2。这些特殊值需要熟记。
我们来做一道练习题：比较sin π/5和sin 2π/5的大小。通过正弦函数图像可以看出，在0到π/2区间内，正弦函数单调递增，因为2π/5大于π/5，所以sin 2π/5大于sin π/5。接下来简单介绍正弦函数的变换形式：y等于A sin(ωx+φ)，其中A控制振幅，ω控制频率，φ控制相位，这为后续学习奠定基础。
让我们总结一下正弦函数的核心知识点。正弦函数定义为直角三角形中对边与斜边的比值。它的基本性质包括：定义域为全体实数，值域为负一到正一，周期为2π。需要掌握的特殊值有：sin π/6等于1/2，sin π/4等于√2/2，sin π/3等于√3/2。正弦函数图像呈波浪形，具有明显的周期性特征。正弦函数是三角函数的基础，在数学中具有重要地位。