解答这道题---**Question 11** **Question Stem:** 设函数 f(x) = 2x³ - 3ax² + 1, 则 ( ) **Options:** A. 当 a > 1 时, f(x) 有三个零点 B. 当 a < 0 时, x = 0 是 f(x) 的极大值点 C. 存在 a, b, 使得 x = b 为曲线 y = f(x) 的对称轴 D. 存在 a, 使得点 (1, f(1)) 为曲线 y = f(x) 的对称中心

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我们来分析函数f(x) = 2x³ - 3ax² + 1的基本性质。首先计算一阶导数f'(x) = 6x² - 6ax = 6x(x-a)，二阶导数f''(x) = 12x - 6a。参数a的不同取值会显著影响函数的形状和性质。 通过分析一阶导数f'(x) = 6x(x-a)，我们找到临界点x = 0和x = a。利用二阶导数测试，当a小于0时，f''(0) = -6a大于0，说明x = 0是极小值点，不是极大值点。因此选项B是错误的。 分析零点个数时，我们注意到f(0) = 1大于0。在极值点处，f(a) = 1 - a³。当a大于1时，f(a)小于0，由于函数连续，必有零点。但通过图像可以看出，当a大于1时函数只有一个零点，不是三个零点，所以选项A是错误的。 三次函数具有点对称性质。通过条件f(x) + f(2c-x) = 2f(c)，我们可以找到对称中心为(a/2, f(a/2))。当a = 3时，对称中心为(1.5, f(1.5))，这与点(1, f(1))不同。但存在a = 2使得(1, f(1))为对称中心，所以选项D是正确的。 综合分析四个选项：选项A错误，当a大于1时函数只有一个零点而非三个；选项B错误，当a小于0时x等于0是极小值点而非极大值点；选项C错误，三次函数不存在对称轴；选项D正确，当a等于2时点(1, f(1))确实是函数的对称中心。因此正确答案是D。