视频字幕
在古希腊时期，毕达哥拉斯学派坚信万物皆数，认为所有的数都可以表示为整数之比。然而，当他们研究边长为1的正方形时，发现其对角线长度根号2无法表示为两个整数的比值。这个发现彻底颠覆了他们的数学世界观，标志着无理数概念的诞生。
除了根号2，还有许多著名的无理数。圆周率π是圆周长与直径的比值，阿基米德通过内接和外切多边形的方法逼近π的值。自然常数e出现在复利计算中，当复利次数趋于无穷时的极限值。黄金比例φ约等于1.618，在自然界和艺术中广泛存在，体现了完美的比例关系。
无理数可以分为两大类：代数数和超越数。代数数是某个整系数多项式方程的根，比如根号2是方程x²-2=0的根。而超越数则不满足任何整系数多项式方程，π和e都是超越数。1882年，林德曼证明了π是超越数，这个定理最终解决了古希腊三大几何难题之一的化圆为方问题。
无理数在实数轴上的分布具有特殊性质。虽然有理数是可数无穷的，可以与自然数一一对应，但无理数是不可数无穷的，在某种意义上比有理数"更多"。更令人惊奇的是，无理数具有稠密性：在任意两个实数之间，都存在无穷多个无理数。康托尔用对角线论证法证明了实数的不可数性，这是数学史上的重要发现。
无理数在现代科学技术中有着广泛应用。π在工程计算和圆形设计中不可或缺，e在金融数学的复利计算和概率统计中发挥重要作用，黄金比例φ在建筑设计和艺术创作中创造出完美的比例关系。计算机科学家开发各种算法来逼近无理数的精确值，而现代数学家仍在继续探索无理数更深层的数学奥秘。