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二次函数是数学中的重要函数类型，其标准形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中a不等于0。这个条件确保函数确实是二次的。例如，f(x) = x² 是最简单的二次函数，而 f(x) = 2x² + 3x + 1 则包含了所有三个系数。二次函数的图像都是抛物线形状。
二次函数图像具有明显的特征。首先，所有二次函数的图像都是抛物线形状。开口方向由系数a决定：当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。每个抛物线都有一条对称轴，其方程为x等于负b除以2a。顶点是对称轴与抛物线的交点，也是函数的最值点。
二次函数的顶点坐标有固定的计算公式。对于f(x) = ax² + bx + c，顶点坐标为负b除以2a，以及4ac减b²再除以4a。我们也可以通过配方法将一般式转换为顶点式a乘以x减h的平方加k。以f(x) = x² - 4x + 3为例，计算得h等于2，k等于负1，所以顶点坐标是(2, -1)。
各个系数对二次函数图像有不同影响。系数a决定开口方向，a的绝对值越大，抛物线越窄。系数b影响对称轴位置，对称轴方程为x等于负b除以2a。系数c决定抛物线与y轴的交点，即点(0, c)。通过调节这些参数，我们可以得到各种不同形状和位置的抛物线。
二次函数在实际生活中有广泛应用。在物理学中，抛射运动的轨迹方程h(t) = -5t² + 20t + 10描述了物体的高度随时间变化，通过求导可得最高点在t等于2秒时，高度为30米。在经济学中，利润函数P(x) = -2x² + 80x - 600可以帮助企业找到最优产量，当x等于20时利润最大为200。这些应用展现了二次函数的实用价值。