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勾股定理是数学中最著名的定理之一。它表述为：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，用公式表示就是a²+b²=c²。这个定理不仅在几何学中占有重要地位，在物理学、工程学等领域也有广泛应用。
在证明勾股定理之前，我们需要理解面积的基本概念。正方形的面积等于边长的平方。面积相等的图形可以通过分割和重组来相互转换。例如，一个边长为2的正方形面积是4，它可以重组为不同形状但面积相等的矩形。这些面积关系的理解是我们证明勾股定理的重要基础。
现在我们用经典的几何方法证明勾股定理。构造一个边长为a加b的大正方形，其面积为a加b的平方，展开得到a²加2ab加b²。在这个大正方形内部，我们可以放置四个全等的直角三角形和一个边长为c的小正方形。四个三角形的面积是2ab，加上小正方形面积c²，总面积为2ab加c²。由于两种计算方法得到的是同一个面积，所以a²加2ab加b²等于2ab加c²，消去2ab，得到a²加b²等于c²，这就证明了勾股定理。
我们也可以用代数方法证明勾股定理。在坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在原点A(0,0)，另外两个顶点分别放在B(a,0)和C(0,b)。利用距离公式，我们可以计算各边的长度：AC等于b，AB等于a，而BC等于根号下a²加b²。由于BC就是斜边c，所以c等于根号下a²加b²，两边平方得到c²等于a²加b²，即a²加b²等于c²，这就从代数角度证明了勾股定理。
现在我们通过两个实际例题来应用勾股定理。第一个例题：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边长度。根据勾股定理，c²等于a²加b²，即c²等于9加16等于25，所以c等于5。第二个例题：判断边长为5、12、13的三角形是否为直角三角形。我们检验5²加12²是否等于13²，计算得25加144等于169，而13²也等于169，因为等式成立，所以这是一个直角三角形。勾股定理在实际问题中有着广泛的应用。