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勾股定理是数学中最著名的定理之一。它表述为：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，用公式表示就是a²+b²=c²。这个定理不仅在几何学中占有重要地位，在整个数学史上也具有深远的影响。
现在我们用几何方法证明勾股定理。首先构造四个相同的直角三角形，然后将它们拼接成一个大正方形。大正方形的面积等于边长a加b的平方，也等于四个三角形的面积加上中间小正方形的面积。通过面积计算，我们得到括号a加b括号的平方等于4乘以二分之一ab加c的平方，化简后就得到了a的平方加b的平方等于c的平方。
让我们通过具体的数值例子来验证勾股定理。最著名的勾股数组合是3-4-5。我们来计算：3的平方等于9，4的平方等于16，9加16等于25，而5的平方也等于25，所以等式成立。其他经典的勾股数还有5-12-13和8-15-17，它们都满足勾股定理的关系式。
勾股定理在实际生活中有广泛应用。建筑工人常用3-4-5法则检查墙角是否垂直：测量3米和4米的距离，如果对角线正好是5米，说明墙角是直角。计算梯子靠墙的安全距离时，如果梯子长5米，距离墙底4米，那么梯子顶端距地面3米高。GPS定位系统也利用勾股定理计算两点间的直线距离。
勾股定理还有一个重要的逆定理：如果三角形的三边长满足a²+b²=c²的关系，那么这个三角形一定是直角三角形。例如，边长为6、8、10的三角形，因为6²+8²等于36+64等于100，正好等于10²，所以这是一个直角三角形。这个逆定理为我们判断三角形是否为直角三角形提供了有效方法。