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微积分是数学中最重要的分支之一，它包含两大核心内容。微分学研究函数的变化率，比如曲线上某点的切线斜率。积分学研究函数的累积量，比如计算曲线下方的面积。这两个概念看似不同，但实际上密切相关，构成了微积分的完整体系。
让我们考虑一个具体问题：如何求曲线y等于x平方在区间0到2下方的面积？传统的几何方法无法直接计算这种曲线围成的面积。解决这个问题的关键思路是用矩形来逼近曲线下的面积。我们可以将区间分成若干小段，在每段上用矩形来近似，当分割越来越细密时，矩形面积之和就越来越接近真实的曲线面积。
黎曼和是定积分的严格数学定义基础。构造过程包括三步：首先将积分区间分成n段，然后在每段选择一个代表点，最后计算所有矩形面积之和。当分割数n趋于无穷时，黎曼和的极限就是定积分。定积分用符号∫表示，其中a和b是积分的上下限，f(x)是被积函数，dx表示积分变量。这个定义将直观的面积概念转化为严格的数学表达式。
定积分具有重要的运算性质。线性性质表明积分运算对加法和常数乘法是线性的。区间可加性说明可以将积分区间分段计算。特别需要注意的是，当被积函数在某个区间内为负值时，对应的积分值也为负，这在几何上表示x轴下方的面积以负值计算。这些性质为定积分的计算和应用提供了重要的理论基础。