生成这个题目的讲解---Here is the extracted content from the image: **Question 22** (12 分) **Question Stem:** 某地质探测队为探测一矿中金属锂的分布情况，先设了1个原点，再确定了5个采样点，这5个采样点到原点距离分别为 xᵢ，其中 xᵢ = i (i=1,2,3,4,5)，并得到了各采样点金属锂的含量 yᵢ，得到一组数据 (xᵢ, yᵢ), i=1,2,3,4,5,经计算得到如下统计量的值: ∑⁵ᵢ₌₁ yᵢ = 62 ∑⁵ᵢ₌₁ (xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) = 47 ∑⁵ᵢ₌₁ uᵢ ≈ 4.79 ∑⁵ᵢ₌₁ (uᵢ - ū)² ≈ 1.615 ∑⁵ᵢ₌₁ (uᵢ - ū)(yᵢ - ȳ) ≈ 19.38 其中 uᵢ = ln xᵢ, i=1,2,3,4,5. **Sub-questions:** (1) 利用样本相关系数判断 y = a + bx 与 y = a + b ln x 哪一个更适宜作为y 关于x 的经验回归模型; (2) 建立 y 关于 x 的经验回归方程. **Reference Data:** 19.38² / 1.615 = 232.56.

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某地质探测队要探测矿中金属锂的分布情况。他们设置了1个原点，并确定了5个采样点，这些采样点到原点的距离分别为1、2、3、4、5个单位。通过测量得到各采样点的金属锂含量数据，并计算出了一系列统计量，包括含量总和、协方差、对数变换后的统计量等。我们需要利用这些数据建立合适的回归模型。 为了选择更合适的回归模型，我们需要计算两种模型的相关系数。首先计算基本统计量：x的平均值为3，y的平均值为12.4。然后分别计算线性模型y等于a加bx和对数模型y等于a加b乘以ln x的相关系数。通过比较相关系数的绝对值大小来判断哪个模型更适合。 通过比较可以发现，由于两个模型中y的方差相同，我们主要比较分子和分母的比值。计算结果显示，对数模型的相关系数绝对值约为15.25除以根号下y的方差，而线性模型约为14.87除以根号下y的方差。由于对数模型的比值更大，说明对数模型y等于a加b乘以ln x具有更强的相关性，因此应该选择对数模型作为经验回归模型。 现在建立对数回归方程。设回归方程为y等于a加b乘以ln x。首先计算回归系数b，等于u和y的协方差除以u的方差，即19.38除以1.615等于12。然后计算截距a，等于y的平均值减去b乘以u的平均值，即12.4减去12乘以0.958等于0.904。因此最终的经验回归方程为：y等于0.904加12倍的ln x。 现在我们来计算基本统计量。首先计算x的平均值，等于1加2加3加4加5的和除以5，结果是3。y的平均值等于62除以5，结果是12.4。u的平均值等于4.79除以5，约等于0.958。接下来计算方差，x的方差为10，u的方差约为1.615。这些基本统计量为后续的相关系数计算奠定了基础。 相关系数是衡量两个变量线性相关程度的统计量。其计算公式为协方差除以两个变量标准差的乘积。相关系数的取值范围在负1到正1之间。当r大于0时表示正相关，小于0时表示负相关。相关系数的绝对值越大，说明两个变量的线性相关性越强。我们将利用这个理论来比较两种回归模型的适用性。