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勾股定理是几何学中最重要的定理之一，它描述了直角三角形三边之间的关系。定理表述为：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²。这里a和b是直角边，c是斜边。一些经典的勾股数包括3-4-5、5-12-13、8-15-17等，它们都满足这个关系。
赵爽弦图是中国古代数学家赵爽提出的勾股定理证明方法。我们构造一个边长为a+b的大正方形，在四个角分别放置相同的直角三角形，中间自然形成一个边长为c的小正方形。通过面积计算：大正方形面积等于四个直角三角形面积加上小正方形面积，即(a+b)²等于4倍二分之一ab加c²，展开后化简得到a²+b²=c²，完美证明了勾股定理。
基于勾股定理，我们可以推导出更一般的余弦定理。在任意三角形ABC中，从顶点A向对边BC作高AD。利用勾股定理分别在两个直角三角形中建立等式，结合三角函数关系，最终得到余弦定理：c²等于a²加b²减去2ab乘以cos C。当角C等于90度时，余弦值为0，余弦定理就退化为勾股定理，体现了数学知识的内在联系。
让我们通过三个递进式例题来巩固所学知识。例题一是基础勾股定理应用：已知直角三角形两直角边为3和4，根据勾股定理，斜边长度为5。例题二运用余弦定理：三角形边长a等于5，b等于7，角C等于60度，通过余弦定理计算得c约等于6.24。例题三是综合应用：在矩形中，已知长为6宽为8，利用勾股定理求得对角线长度为10。这些例题展示了勾股定理和余弦定理在解决实际问题中的重要作用。
最后我们来挑战一道综合题。已知三角形ABC的三边长分别为13、14、15，求三角形的面积。这道题可以用两种方法解决：第一种是海伦公式，先求半周长21，然后计算面积为84；第二种是先用余弦定理求出角A的余弦值，再求正弦值，最后用面积公式得到相同结果84。两种方法都基于三角形的基本几何性质，体现了数学知识的内在统一性。通过这些练习，我们深入理解了勾股定理、余弦定理及其应用。