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三角函数图像的变换是数学中的重要概念。通过改变函数表达式中的参数，我们可以对基本的正弦函数图像进行各种变换。一般形式为 y = A sin(ωx + φ) + k，其中A控制振幅，ω控制频率，φ控制水平平移，k控制垂直平移。让我们先看看基本的正弦函数图像。
振幅变换是最直观的变换之一。参数A控制函数图像在纵向上的伸缩。当A大于1时，图像被纵向拉伸，函数值的范围扩大。当A在0到1之间时，图像被纵向压缩。当A为负数时，图像会关于x轴翻转。让我们观察振幅从1变化到2，再变化到0.5的过程。
周期变换通过参数ω来控制函数的横向伸缩。当ω大于1时，函数图像被横向压缩，周期变短，在相同的x范围内出现更多的波形。当ω小于1时，函数图像被横向拉伸，周期变长。新的周期等于2π除以ω。让我们观察ω从1变化到2，再变化到0.5的效果。
相位变换通过初相位φ来控制函数图像的水平平移。当φ为正值时，图像向左平移；当φ为负值时，图像向右平移。这种变换改变了函数的起始位置，但不影响振幅和周期。灰色曲线是原始的正弦函数作为参考。让我们观察φ从0变化到π/2，再变化到-π/2的效果。
现在让我们将所有变换综合起来，观察完整的变换过程。我们从基本的正弦函数开始，首先应用振幅变换A等于2，然后应用周期变换ω等于2，接着应用相位变换φ等于π/4，最后应用垂直平移k等于1。最终得到函数y = 2sin(2x + π/4) + 1。这个函数具有振幅2，周期π，向左平移π/8，向上平移1个单位的特征。