已知 $\vec{a}=(\sqrt{2}, 1),|\vec{b}|=2,\langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=30^{\circ}$ ，记 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\vec{c}$ ． （1）求 $|\vec{a}-2 \vec{c}|$ 的值； （2）若向量 $\left(\vec{a}-\frac{\lambda}{3} \vec{c}\right)$ 与 $(\lambda \vec{a}-4 \vec{c})$ 的夹角为钝角，求实数 $\lambda$ 的取值范围． 【答案】解：（1）$\because|\vec{a}|=\sqrt{3},|\vec{b}|=2, \vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30^{\circ}, \vec{c}=|\vec{a}| \cos 30^{\circ} \cdot \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}=\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\vec{b}}{2}=\frac{3}{4} \vec{b}$ ， $$ \therefore|\vec{a}-2 \vec{c}|=\sqrt{|\vec{a}-2 \vec{c}|^2}=\sqrt{|\vec{a}|^2-4|\vec{a}||\vec{c}| \cos 30^{\circ}+|2 \vec{c}|^2}=\sqrt{3-9+9}=\sqrt{3} $$ （2）$\because$ 向量 $\left(\vec{a}-\frac{\lambda}{3} \vec{c}\right)$ 与 $(\lambda \vec{a}-4 \vec{c})$ 的夹角为钝角， $$ \therefore\left(\vec{a}-\frac{\lambda}{3} \vec{c}\right) \cdot(\lambda \vec{a}-4 \vec{c})=\left(\vec{a}-\frac{\lambda}{4} \vec{b}\right) \cdot(\lambda \vec{a}-3 \vec{b})=\lambda \vec{a}^2-3 \vec{a} \cdot \vec{b}-\frac{\lambda^2}{4} \vec{a} \cdot \vec{b}+\frac{3 \lambda}{4} \vec{b}^2 $$ $=3 \lambda-3 \times \sqrt{3} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\lambda^2}{4} \times \sqrt{3} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{4} \lambda \times 4=3\left(2 \lambda-3-\frac{1}{4} \lambda^2\right)<0$ ，且 $\left(\vec{a}-\frac{\lambda}{3} \vec{c}\right)$ 与 $(\lambda \vec{a}-4 \vec{c})$ 不能共线，$\therefore \lambda^2-8 \lambda+12>0$ 即 $\lambda<2$ 或 $\lambda>6$ ， 当 $\left(\vec{a}-\frac{\lambda}{3} \vec{c}\right)$ 与 $(\lambda \vec{a}-4 \vec{c})$ 共线时，设 $\left(\vec{a}-\frac{\lambda}{3} \vec{c}\right)=k(\lambda \vec{a}-4 \vec{c}), k<0$ ，得 $\lambda=-2 \sqrt{3}, ~ \lambda<2$ 或 $\lambda>6$ 且 $\lambda \neq-2 \sqrt{3}$ ，则实数 $\lambda$ 的取值范围为 $(-\infty,-2 \sqrt{3}) \cup(-2 \sqrt{3}, 2) \cup(6,+\infty)$ ；