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韦达定理是代数学中的重要定理，它揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系。对于标准形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，当a不等于0时，如果方程有两个根x₁和x₂，那么两根之和等于负b除以a，两根之积等于c除以a。这个定理为我们提供了不解方程就能了解根的性质的方法。
现在我们来分析具体题目。题目给出方程x²+bx+c=0的两根为1和2，要求我们求出系数b和c的值。让我们明确已知条件：方程为x²+bx+c=0，这里二次项系数a等于1，两个根分别是x₁=1和x₂=2。我们的目标是求出系数b和c的值。这个问题正好可以用韦达定理来解决。
现在我们运用韦达定理来求解系数。根据韦达定理，对于方程x²+bx+c=0，两根之和等于负b除以a，两根之积等于c除以a。由于这里a等于1，所以x₁+x₂等于负b，x₁乘以x₂等于c。将已知的两根1和2代入：1加2等于3，所以负b等于3，因此b等于负3。1乘以2等于2，所以c等于2。最终得到方程x²-3x+2=0。
现在我们来验证求得的系数是否正确。将b等于负3和c等于2代入原方程，得到x²-3x+2=0。我们可以用因式分解来验证：x²-3x+2可以分解为(x-1)(x-2)，令其等于0，确实得到x等于1或x等于2。我们也可以用求根公式验证：代入a=1，b=-3，c=2，计算得到x等于3加减1除以2，即x₁=2，x₂=1。两种方法都确认了我们的答案是正确的。