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公因数是数学中的重要概念。因数是指能被一个数整除的数，而公因数则是两个或多个数共有的因数。让我们通过12和18这个例子来理解。12的因数有1、2、3、4、6、12，18的因数有1、2、3、6、9、18。比较这两组因数，我们发现它们的公因数是1、2、3、6。
求最大公因数有三种常用方法。第一种是列举法，先列出24的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、24，再列出36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36，找出公因数1、2、3、4、6、12，其中最大的是12。第二种是质因数分解法，将24分解为2的3次方乘以3的1次方，36分解为2的2次方乘以3的2次方，最大公因数等于各质因数最小次幂的乘积，即2的2次方乘以3的1次方等于12。第三种是辗转相除法，用36除以24得余数12，再用24除以12得余数0，所以最大公因数是12。
公倍数是与公因数相对的概念。倍数是指一个数的整数倍，而公倍数则是两个或多个数共有的倍数。与公因数不同，公因数小于等于原数，而公倍数大于等于原数。让我们看6和8的例子。6的倍数有6、12、18、24、30、36、42、48等，8的倍数有8、16、24、32、40、48、56、64等。比较这两组倍数，我们发现公倍数有24、48等，其中最小的正公倍数是24，这就是最小公倍数。
求最小公倍数也有多种方法。第一种列举法，列出15的倍数15、30、45、60、75，列出20的倍数20、40、60、80，找到最小公倍数60。第二种质因数分解法，15等于3的1次方乘以5的1次方，20等于2的2次方乘以5的1次方，最小公倍数等于各质因数最高次幂的乘积，即2的2次方乘以3的1次方乘以5的1次方等于60。第三种公式法，先求最大公因数5，然后用15乘以20除以5等于60。我们可以验证：最大公因数乘以最小公倍数等于两数的乘积。
让我们通过两个实际问题来应用公因数和公倍数知识。第一个是分组问题：将48个苹果和36个橙子平均分成若干组，每组苹果和橙子数量相同，最多分几组？这需要求48和36的最大公因数。48等于2的4次方乘以3的1次方，36等于2的2次方乘以3的2次方，最大公因数是12，所以最多分12组。第二个是周期问题：红灯每12秒亮一次，绿灯每18秒亮一次，多少秒后两灯同时亮？这需要求12和18的最小公倍数。12等于2的2次方乘以3的1次方，18等于2的1次方乘以3的2次方，最小公倍数是36，所以36秒后同时亮。总结：分组问题用最大公因数，周期问题用最小公倍数。