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微积分是数学中研究变化和累积的重要分支。它包含三个核心概念：极限描述函数的趋近行为，导数描述函数的瞬时变化率，积分描述函数在区间上的累积效应。这里我们看到当x趋近于2时，函数f(x)等于x平方除以2的极限过程。
极限的严格定义是：当x趋近于a时，如果函数f(x)趋近于某个确定的值L，我们就说函数f(x)在x趋近于a时的极限是L。极限具有唯一性、局部有界性和保号性等重要性质。我们可以从左侧和右侧分别考察极限。这里演示f(x)等于x平方在x趋近于2时的极限过程，可以看到无论从左侧还是右侧趋近，函数值都趋向于4。
导数的定义是函数在某点处变化率的极限。从几何角度看，导数就是函数图像在该点处切线的斜率。我们可以通过割线逐渐逼近切线来理解这个概念。当两点之间的距离h趋近于零时，割线的斜率就趋近于切线的斜率，这就是导数。对于函数y等于x平方，在x等于2处的导数是4，这意味着切线的斜率是4。
基本求导法则包括幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则和三角函数法则。还有乘积法则、商法则和链式法则用于复合函数求导。例如，对于函数f(x)等于x的三次方除以3加x的平方，应用幂函数法则可得导数f'(x)等于x平方加2x。图中蓝色曲线是原函数，红色曲线是导数函数，绿点显示原函数上某点的斜率值。
积分是导数的逆运算，分为不定积分和定积分。不定积分求的是原函数，定积分计算的是曲线下的面积。我们可以用黎曼和的方法，通过无数个小矩形来逼近曲线下的面积。例如，函数f(x)等于x从0到2的定积分等于2，这就是三角形的面积。当矩形数量增加时，近似面积越来越接近真实面积。