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等比数列是一种特殊的数列，其特点是相邻两项的比值为常数。这个常数我们称为公比，通常用字母q表示。例如数列2、4、8、16、32，每一项都是前一项的2倍，所以公比q等于2。
现在我们来推导等比数列的通项公式。从首项a1开始，第二项a2等于a1乘以公比q，第三项a3等于a1乘以q的平方，第四项a4等于a1乘以q的三次方。通过观察规律，我们可以得出第n项的通项公式：an等于a1乘以q的n减1次方。
等比数列有许多重要的性质。第一个性质是：如果m加n等于p加q，那么am乘以an等于ap乘以aq。第二个重要性质是等比中项性质：an的平方等于前一项乘以后一项。让我们用具体例子来验证：在数列1、2、4、8、16中，a2乘以a4等于2乘以8等于16，a1乘以a5等于1乘以16也等于16，验证了第一个性质。
现在我们推导等比数列前n项和公式。当公比q不等于1时，我们使用错位相减法。首先写出Sn等于a1加a1q加a1q平方一直到a1q的n减1次方。然后两边同时乘以q得到qSn的表达式。用第一个式子减去第二个式子，大部分项会相消，最终得到Sn等于a1乘以1减q的n次方，再除以1减q。当q等于1时，所有项都相等，所以Sn等于n倍的a1。
现在我们来解决一个综合应用题。已知等比数列中a3等于8，a6等于64，求首项a1和公比q，并计算前10项和。首先建立方程组：a3等于a1乘以q平方等于8，a6等于a1乘以q五次方等于64。然后求公比：a6除以a3等于q三次方等于8，所以q等于2。接着求首项：a1等于a3除以q平方等于8除以4等于2。最后计算前10项和：使用公式得到S10等于2046。