[主题] 三角形中线长度公式可视化证明 [对象] 高中生 [动画需求]： 1. 展示任意三角形ABC（动态绘制三个顶点） 2. 用红色粗线标出BC边上的中线AM（M点缓慢下落） 3. 在右侧同步显示公式：$$ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} $$ 4. 分三步演示推导过程： - 步骤1：将三角形补成平行四边形（用虚线延伸） - 步骤2：高亮显示△ABM与△ACM的边角关系 - 步骤3：用向量法动态展开公式（箭头从A指向M，显示坐标计算过程） 5. 添加实际例题：已知三角形三边为5/6/7，计算中线长（逐步显示数字代入过程） [语音要求] 中文男声，语速中等，关键步骤暂停0.5秒

视频信息

答案文本 复制

视频字幕 复制

三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段。对于三角形ABC，BC边上的中线AM的长度可以用公式计算。现在我们来看M点如何从上方缓慢下落到BC边的中点位置，形成中线AM。 为了推导中线长度公式，我们使用平行四边形补全法。首先延伸AB边到点C'，使得AC'平行于BC，这样就构造出平行四边形ABCC'。在这个平行四边形中，中线AM实际上是对角线AC'的一半，这为我们后续的向量推导提供了重要的几何基础。 现在我们分析三角形内部的边角关系。中线AM将原三角形分成两个子三角形：三角形ABM和三角形ACM。由于M是BC的中点，所以BM等于CM，都等于a的一半。这两个子三角形有相同的底边长度和相同的高，因此面积相等。AM是两个子三角形的公共边，AB等于c，AC等于b。 现在用向量法严格推导中线长度公式。建立坐标系后，中线向量AM等于向量AB加AC的一半。计算AM的模长平方，展开向量运算得到AB模长平方加2倍AB与AC的点积加AC模长平方，再除以4。利用余弦定理，最终推导出中线长度公式。 现在通过具体例题验证公式的应用。已知三角形三边长分别为5、6、7，求BC边上的中线长度。将数值代入公式：先计算2乘6的平方加2乘7的平方减5的平方，等于72加98减25，得到145。然后开平方根除以2，最终得到中线长度约为6.02。