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IQR，即四分位距，是描述数据离散程度的重要统计量。它表示数据中间百分之五十的范围。四分位数将排序后的数据分为四等份：Q1是第一四分位数，位于百分之二十五的位置；Q2是中位数，位于百分之五十的位置；Q3是第三四分位数，位于百分之七十五的位置。IQR等于Q3减去Q1，反映了数据的中等离散程度。
计算四分位数需要按照以下步骤进行。首先将数据从小到大排序。然后确定Q1和Q3的位置：Q1位置等于n加1除以4，Q3位置等于3倍的n加1除以4。以我们的示例数据为例，有10个数据点，Q1位置是2.75，Q3位置是8.25。由于位置不是整数，我们需要在相邻数据间插值计算。Q1等于第2和第3个数据的平均值，即4加6除以2等于5.5。Q3等于第8和第9个数据的平均值，即14加16除以2等于14.5。
IQR的计算公式非常简单：IQR等于Q3减去Q1。使用我们前面计算的结果，Q1等于5.5，Q3等于14.5，因此IQR等于14.5减去5.5，等于9。这个箱线图清楚地展示了IQR在数据分布中的位置。箱子的宽度就是IQR，表示中间百分之五十数据的范围。IQR数值越大，说明数据越分散；数值越小，说明数据越集中。
使用IQR可以有效检测异常值。检测规则是：下界等于Q1减去1.5倍IQR，上界等于Q3加上1.5倍IQR。超出这个范围的数据点被认为是异常值。以新的数据集为例，Q1等于5，Q3等于15，IQR等于10。计算得出下界为负10，上界为30。数据中的35超过了上界30，因此被识别为异常值。使用1.5倍IQR作为判断标准是统计学中的经典方法，能够有效识别大部分异常情况。
让我们通过一个学生考试成绩分析的实际案例来综合运用IQR。原始成绩数据已经排序：从65到98分。按照标准步骤，首先计算四分位数：Q1等于78.5，Q2等于86.5，Q3等于91。然后计算IQR等于91减去78.5，等于12.5。进行异常值检测，下界为60，上界为109.75，所有成绩都在正常范围内。最终生成的箱线图清晰展示了成绩分布情况。IQR在教育评估、质量控制、金融风险分析等多个领域都有重要应用，是数据分析中不可缺少的工具。