视频字幕
Walsh函数是由美国数学家约瑟夫·沃尔什在1923年提出的一组完备正交函数系。它具有独特的二值特性，函数值只取正1和负1。右侧展示了前三个Walsh函数的波形，可以看到它们都是矩形波，具有不同的跳变次数。Walsh函数在数字信号处理、图像压缩和通信系统中有重要应用。
Walsh函数的构造遵循递归规律。从最简单的W₀开始，它是常数1，没有零交叉。W₁在中点处有一次跳变，W₂有两次跳变，W₄有四次跳变。函数的序号与其零交叉次数密切相关。这种构造方法与Hadamard矩阵有关，可以通过二进制表示来理解Walsh函数的结构规律。
Walsh函数是一组正交的方波函数，由美国数学家Joseph Walsh在1923年提出。这些函数只取+1和-1两个值，具有简单的数字特性。右侧显示了前三个Walsh函数：W0是常数1，W1在前半周期为1后半周期为-1，W2则有更复杂的模式。
Walsh函数有多种生成方法。最常见的是通过Hadamard矩阵或二进制表示来构造。每个Walsh函数都有一个序号，这个序号的二进制表示直接决定了函数的波形特征。右侧显示了前四个Walsh函数对应的序号及其二进制表示，以及相应的模式可视化。
Walsh函数具有重要的数学性质。首先是正交性，任意两个不同的Walsh函数在一个周期内的乘积积分等于零。右侧演示了W₀和W₁的乘积，可以看到正负部分面积相等，积分为零。Walsh函数还具有完备性，意味着可以用它们的线性组合表示任意平方可积函数。此外，Walsh函数还具有周期性、对称性等重要性质。
Walsh变换是信号处理中的重要工具，它将信号从时域变换到Walsh域。与傅里叶变换不同，Walsh变换使用Walsh函数作为基函数，只涉及加减运算，计算简单。快速Walsh变换算法使得大数据量的变换计算变得高效。右侧显示了一个信号及其Walsh变换系数，不同的系数对应不同的Walsh函数分量。
Walsh函数在多个领域都有重要应用。在数字图像处理中，Walsh变换被用于图像压缩和特征提取，因为其只涉及加减运算，计算效率很高。在通信系统中，Walsh函数被用作扩频通信的扩频码，实现码分多址。此外，Walsh函数还广泛应用于信号分析、噪声抑制、数值计算等领域，是数字信号处理的重要工具。
Walsh变换的数学原理基于Walsh函数的正交性。正变换将时域信号分解为Walsh函数的线性组合，每个系数表示对应Walsh函数的权重。逆变换则将这些系数重新组合恢复原信号。快速Walsh变换算法类似于快速傅里叶变换，但只涉及加减运算，计算效率更高，复杂度为O(N log N)。
Walsh函数在实际中有广泛应用。在图像处理中，Walsh变换可以用于图像压缩，将图像分解为Walsh函数的线性组合。在数字通信中，Walsh函数作为CDMA系统的扩频码，实现多用户通信。在信号处理中，Walsh变换可用于数字滤波和噪声抑制。与傅里叶变换相比，Walsh变换只需要加减运算，计算简单高效，特别适合数字信号处理应用。