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平面向量的坐标表示是向量运算的基础。想象你在地图上从A点走到B点，这个位移就可以用向量表示。如果A点坐标是(1,1)，B点坐标是(4,3)，那么向量AB的坐标就是(3,2)。位置向量是从原点出发的向量，它的坐标就是终点的坐标。向量的坐标表示让我们能够用数字来描述方向和大小。
向量的坐标运算有三个基本法则。向量加法：对应坐标相加。向量减法：对应坐标相减。数乘运算：每个坐标都乘以这个数。让我们看个例子：设向量a是(2,1)，向量b是(1,3)。那么a加b等于(3,4)，a减b等于(1,-2)，2倍的a等于(4,2)。这些运算在坐标系中都有直观的几何意义。
向量的数量积是一个重要概念。数量积等于两个向量的模长乘积再乘以它们夹角的余弦值。数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影长度乘以另一个向量的模长。当两个向量垂直时，它们的数量积为零，这是判断向量垂直的重要条件。
数量积的坐标公式非常实用：两个向量的数量积等于对应坐标的乘积之和。向量的模长等于坐标平方和的开方。夹角余弦值等于数量积除以两向量模长的乘积。让我们用具体例子验证：向量a是(3,4)，向量b是(1,2)，它们的数量积是11，模长分别是5和根号5，夹角余弦值可以精确计算出来。
向量的垂直和平行判定是重要应用。两向量垂直当且仅当数量积为零。两向量平行当且仅当对应坐标成比例。这些性质在几何中有广泛应用：可以证明线段垂直，计算点到直线距离，求解角度问题。向量方法使复杂的几何问题变得简单明了，是解析几何的有力工具。