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弗里德曼方程是现代宇宙学的核心方程，由苏联物理学家亚历山大·弗里德曼在1922年提出。这个方程描述了宇宙标度因子随时间的演化，连接了宇宙的几何结构与其中的物质和能量分布。方程的左边表示宇宙膨胀率的平方，右边包含了物质密度、空间曲率和宇宙学常数的贡献。
宇宙学原理是理解弗里德曼方程的基础。它包含两个重要假设：均匀性和各向同性。均匀性假设宇宙在大尺度上物质分布是均匀的，各向同性假设宇宙在各个方向上的性质都相同。标度因子a(t)是描述宇宙尺度变化的关键参数，它表示宇宙中任意两点间距离如何随时间变化。当a(t)增大时，宇宙膨胀；当a(t)减小时，宇宙收缩。
弗里德曼方程是从爱因斯坦场方程推导而来的。首先，我们使用FLRW度规来描述均匀各向同性的宇宙时空结构。这个度规包含了标度因子a(t)和曲率参数k。通过计算里奇张量和爱因斯坦张量，并代入完美流体的能动张量，我们最终得到弗里德曼方程。曲率参数k决定了空间的几何性质：k等于0对应平坦空间，k等于正1对应封闭的球面几何，k等于负1对应开放的双曲几何。
弗里德曼方程中的每个参数都有重要的物理意义。哈勃参数H等于标度因子的时间导数除以标度因子本身，描述了宇宙的膨胀率。密度参数ρ表示宇宙中物质和能量的总密度。压强p反映物质的压强贡献，对于普通物质通常很小。曲率参数k决定空间的几何性质，可以是负一、零或正一。宇宙学常数Λ代表暗能量的贡献，在现代宇宙学中起着关键作用。这些参数共同决定了宇宙的演化历史和未来命运。
弗里德曼方程描述了三种不同的宇宙演化模型。平坦宇宙对应k等于零，具有临界密度，会永远膨胀但膨胀速度逐渐趋于零。封闭宇宙对应k等于正一，密度超过临界值，会先膨胀到最大尺度然后开始收缩，最终可能发生大坍缩。开放宇宙对应k等于负一，密度低于临界值，会永远加速膨胀。观测表明我们的宇宙几乎是平坦的，但由于暗能量的存在，目前正在加速膨胀，这为宇宙学带来了新的挑战和机遇。