解读一下附件中题目---Here is the extracted content from the image: **Problem Statement:** 设函数 (Let function) $f(x) = \int_0^x \frac{\ln(1+t)}{t} dt$ **(1) 证明 (Prove):** $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n^2}$, 对于所有 $|x| \le 1$ (for all $|x| \le 1$) **(2) 计算 (Calculate):** $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x} dx$ **(3) 判断以下级数的收敛性 (Determine the convergence of the following series):** $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ 如果是收敛的，求出它的和。(If it converges, find its sum.)

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这是一个关于函数积分与无穷级数的综合问题。给定函数f(x)等于从0到x积分ln(1+t)/t dt。我们需要完成三个任务：首先证明f(x)的级数表示形式，然后计算从0到1的定积分，最后判断相关交错级数的收敛性。这个问题将展示泰勒级数、逐项积分和级数收敛性理论的综合应用。 为了建立f(x)的级数表示，我们首先对ln(1+t)进行泰勒级数展开。ln(1+t)等于从n=1到无穷的求和，(-1)的n+1次方乘以t的n次方除以n。将此展开式代入被积函数，得到ln(1+t)/t等于从n=1到无穷的求和，(-1)的n+1次方乘以t的n-1次方除以n。最后对每一项逐项积分，得到f(x)的级数表示。 现在我们严格证明第一问。根据逐项积分定理，当级数在积分区间内一致收敛时，可以交换积分与求和的顺序。将ln(1+t)的级数展开代入积分中，然后逐项积分每一项。对t的n-1次方从0到x积分得到x的n次方除以n，最终得到f(x)等于从n=1到无穷的求和，(-1)的n+1次方乘以x的n次方除以n的平方。这个级数在|x|≤1时收敛。 现在计算第二问的定积分。根据第一问的结果，当x等于1时，f(1)等于从n=1到无穷的求和，(-1)的n+1次方除以n的平方。这正是我们要计算的积分值。通过数学分析可知，这个级数的和等于π的平方除以12。因此，从0到1积分ln(1+x)/x dx等于π²/12。