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余数是除法运算中的重要概念。让我们用分苹果的例子来理解。如果有12个苹果分给3个人，每人可以得到4个，正好分完，没有剩余。但如果有13个苹果分给3个人，每人得到4个后，还剩下1个苹果，这个剩下的1就是余数。
除法与余数有着密切的关系。除法的标准形式是：被除数除以除数等于商余余数。用字母表示就是a除以b等于q余r，其中余数r必须小于除数b。让我们看几个具体例子：17除以5等于3余2，验证一下：5乘以3加2等于17。23除以7等于3余2，验证：7乘以3加2等于23。19除以4等于4余3，验证：4乘以4加3等于19。
余数有两个重要性质。第一，余数总是小于除数。第二，余数可以是从0到除数减1之间的任意整数。用数学式子表示就是0小于等于r小于b。让我们看一个表格：当除数为5时，余数只能是0、1、2、3、4；当除数为7时，余数只能是0到6；当除数为3时，余数只能是0、1、2。我们用几个例子来验证：13除以5等于2余3，余数3小于除数5；18除以7等于2余4，余数4小于除数7；11除以3等于3余2，余数2小于除数3。
计算余数有两种主要方法。第一种是长除法，直接进行除法运算得到商和余数。第二种是利用乘法验证，根据被除数等于除数乘以商加余数的关系来计算。让我们用47除以6来演示。方法一：47除以6等于7余5。方法二：先算6乘以7等于42，然后47减去42等于5，所以余数是5。两种方法得到相同结果。我们再看两个练习：85除以12等于7余1，73除以8等于9余1。
余数在实际生活中有很多应用。主要用于解决分组和循环问题。第一个例子是日期计算：今天是星期三，100天后是星期几？我们计算100除以7等于14余2，所以是星期三往后推2天，答案是星期五。第二个例子是座位安排：30个学生，每排7个座位需要几排？30除以7等于4余2，说明4排坐满还剩2个学生，所以需要5排。第三个例子是包装问题：85个商品，每盒装12个需要几个盒子？85除以12等于7余1，说明7个盒子装满还剩1个商品，所以需要8个盒子。