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原子模型经历了漫长的发展历程。道尔顿提出了实心球模型，认为原子是不可分割的实心球。汤姆逊发现电子后，提出了葡萄干布丁模型，认为原子是带正电的球体，电子像葡萄干一样嵌在其中。卢瑟福通过α粒子散射实验，发现了原子核，提出了核式模型。但是，按照经典物理学理论，电子绕核运动会不断辐射能量，最终坠入原子核，这意味着原子应该是不稳定的，这与实际观察不符。
为了解决卢瑟福模型的问题，玻尔提出了三个基本假设。第一个假设是电子只能在特定的轨道上运动，在这些轨道上电子不会辐射能量。第二个假设是电子轨道的角动量是量子化的，等于n倍的约化普朗克常数，其中n是正整数。第三个假设是当电子在不同轨道间跃迁时，会吸收或发射光子，光子的能量等于两个能级之间的能量差。这些假设引入了量子化的概念，为解释原子的稳定性奠定了基础。
通过玻尔的假设，我们可以计算氢原子的轨道半径和能级。首先，库仑力提供电子绕核运动的向心力。结合角动量量子化条件，可以推导出轨道半径公式：r等于n的平方乘以玻尔半径a0。能级公式为：E等于负13.6电子伏特除以n的平方。这些公式表明，电子轨道半径随量子数n的平方增长，而能级随n的平方反比递减。右图显示了氢原子的能级图和轨道示意图。
玻尔模型成功解释了氢原子光谱。当电子在不同能级间跃迁时，会发射特定频率的光子，形成光谱线。里德伯公式描述了光谱线波长与量子数的关系。根据终态量子数的不同，氢原子光谱分为不同系列：莱曼系对应跃迁到n等于1的能级，巴尔默系对应跃迁到n等于2的能级，帕邢系对应跃迁到n等于3的能级。例如，巴尔默系的α线对应从n等于3跃迁到n等于2，能量差为1.89电子伏特，对应波长656纳米的红光。
玻尔原子模型具有重大的历史意义和明显的局限性。在成就方面，它成功解释了氢原子光谱，首次引入了量子化概念，为后来量子力学的发展奠定了重要基础。然而，玻尔模型也存在明显的局限性：它无法解释多电子原子的光谱，无法预测光谱线的强度，而且在理论上是半经典半量子的混合体，缺乏完整的理论基础。尽管如此，玻尔模型仍然是量子力学发展史上的重要里程碑，为现代量子力学的建立铺平了道路。