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引力泊松方程是描述引力场的基本方程。方程的形式是拉普拉斯算子作用于引力势φ等于4π乘以万有引力常数G再乘以质量密度ρ。其中φ表示引力势，∇²是拉普拉斯算子，G是万有引力常数，ρ是质量密度。这个方程揭示了质量分布如何产生引力势场，是理解引力现象的数学基础。
引力泊松方程源于牛顿万有引力定律。根据牛顿定律，两个质点间的引力为F等于G乘以两质量的乘积除以距离的平方。引力场强度g定义为单位质量受到的引力，等于负的引力势梯度。引力势φ表示单位质量在引力场中的势能。对于连续的质量分布，我们需要用泊松方程来描述引力场的分布规律。
现在我们来推导引力泊松方程。首先，引力场强度等于负的引力势梯度。根据高斯定律，引力场的散度等于负4π乘以G乘以密度。将第一个方程代入第二个方程，得到负拉普拉斯算子作用于φ等于负4πGρ。最终得到泊松方程。散度描述了场线的发散程度，拉普拉斯算子是重要的二阶微分算子。
对于球对称情况，泊松方程简化为球坐标形式。我们分别考虑球内部和外部的情况。在球内部，密度为常数ρ，解得引力势为负的2πGρ除以3乘以3R²减r²。在球外部，密度为零，解得引力势为负GM除以r。通过边界条件的连续性要求，可以确定积分常数，得到完整的解析解。
引力泊松方程是物理学中描述引力场与物质密度关系的基本微分方程。它由法国数学家泊松提出，表达了空间中任意一点的引力势与该点处物质密度的关系。
引力泊松方程的基本形式为：拉普拉斯算子作用于引力势等于4π倍引力常数乘以物质密度。其中，φ表示引力势，ρ表示物质密度，G是引力常数，拉普拉斯算子在三维直角坐标系中表示为对x、y、z的二阶偏导数之和。
对于球对称的质量分布，泊松方程可以简化为球坐标形式。当考虑点质量时，密度用狄拉克δ函数表示，此时方程的解为引力势等于负的引力常数乘以质量除以距离，这就是我们熟悉的引力势公式。
引力泊松方程与牛顿引力定律密切相关。牛顿定律描述了两个质点间的引力，而引力场强度等于引力势的负梯度。泊松方程则建立了引力势与物质密度分布的关系，是描述引力场的更一般形式。
引力泊松方程在天体物理和地球物理中有广泛应用。主要包括行星内部结构研究、恒星演化模型、星系动力学分析和地球重力场测量等。在求解时需要适当的边界条件，如无穷远处势为零，球心处势的导数为零。图中展示了地球内部的分层结构和对应的重力加速度变化，体现了泊松方程在实际问题中的重要作用。