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热力学系统的状态可以用状态函数来完整描述。主要的状态函数包括内能U、焓H、自由能F和吉布斯自由能G。这些函数都具有全微分性质，它们的变化只依赖于系统的初末状态，而不依赖于变化的路径。状态变量如温度T、压强P、体积V和熵S则用来描述系统的具体状态。
热力学中有四个基本的势函数。内能U以熵S和体积V为自变量，其微分形式为dU等于TdS减PdV。焓H以熵S和压强P为自变量，微分形式为dH等于TdS加VdP。亥姆霍兹自由能F以温度T和体积V为自变量，微分形式为dF等于负SdT减PdV。吉布斯自由能G以温度T和压强P为自变量，微分形式为dG等于负SdT加VdP。这些势函数的全微分性质是推导麦克斯韦关系式的基础。
混合偏导数定理是推导麦克斯韦关系式的关键数学工具。对于二元函数f(x,y)，如果二阶混合偏导数连续，则对x先求偏导再对y求偏导的结果，等于对y先求偏导再对x求偏导的结果。通过一个具体例子可以验证这一定理。这个定理的几何意义是曲面在某点处的混合偏导数与求导次序无关。
现在我们运用混合偏导数定理从热力学势函数推导麦克斯韦关系式。以内能U为例，从dU等于TdS减PdV出发，我们知道T等于U对S的偏导数，负P等于U对V的偏导数。根据混合偏导数相等定理，T对V的偏导数等于负P对S的偏导数。类似地，从焓H、自由能F和吉布斯自由能G的微分形式，我们可以推导出其他三个麦克斯韦关系式。
现在我们完整展示四个麦克斯韦关系式。第一个关系式表明温度对体积的偏导数等于负的压强对熵的偏导数。第二个关系式表明温度对压强的偏导数等于体积对熵的偏导数。第三个关系式表明压强对温度的偏导数等于熵对体积的偏导数。第四个关系式表明体积对温度的偏导数等于负的熵对压强的偏导数。这些关系式体现了热力学量之间优美的对称性和深层的相互关联。