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勾股定理是几何学中最重要的定理之一。它表明在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，用公式表示就是a²+b²=c²。这个定理虽然以古希腊数学家毕达哥拉斯命名，但实际上在更早的巴比伦和中国古代文明中就已经被发现和应用了。
为了证明勾股定理，我们采用几何证明法。首先构造四个完全相同的直角三角形，每个三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c。然后将这四个三角形巧妙地排列成一个边长为a+b的大正方形。这种排列方式是证明的关键，通过比较大正方形面积的两种不同计算方法，我们就能推导出勾股定理。
现在我们用面积法来完成证明。大正方形的面积可以用两种方法计算。方法一：边长为a+b的正方形面积等于(a+b)²。方法二：四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，即4×½ab+c²。由于这两种方法计算的是同一个面积，所以(a+b)²=2ab+c²。展开左边得到a²+2ab+b²=2ab+c²，消去两边的2ab，最终得到a²+b²=c²，这就是勾股定理。
让我们用具体的数值来验证勾股定理。最著名的例子是3-4-5直角三角形。设a等于3，b等于4，c等于5。计算各边的平方：a²等于9，b²等于16，c²等于25。将直角边的平方相加：9加16等于25，正好等于斜边的平方25。这完美验证了勾股定理a²+b²=c²的正确性。3-4-5是最经典的勾股数组合，在实际应用中经常被使用。
勾股定理在实际生活中有广泛应用。比如梯子靠墙问题：已知5米长的梯子底端距墙3米，可以用勾股定理计算梯子顶端的高度，h等于根号下5²减3²，等于4米。在建筑工程中，勾股定理用于检验直角是否准确。在导航系统中，用于计算两点间的直线距离。在屋顶设计中，用于确定屋顶的倾斜角度和材料用量。勾股定理不仅是重要的数学理论，更是解决实际问题的有力工具。