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弹性势能是物体由于弹性形变而具有的势能。当弹簧被压缩或拉伸时，它就储存了弹性势能。形变程度越大，储存的弹性势能就越大。当外力撤除后，弹性势能会转化为其他形式的能量，推动物体运动。
弹性势能的大小由公式 E_p = 1/2 * k * x^2 计算。其中k是弹性系数，表示弹簧的硬度；x是形变量，即偏离平衡位置的距离。从图像可以看出，弹性势能与形变量的平方成正比，这意味着形变越大，势能增长越快。
在弹性振动中，弹性势能与动能相互转化。当物体远离平衡位置时，速度减小，动能转化为弹性势能。当物体向平衡位置运动时，弹性势能转化为动能。在理想情况下，总机械能保持守恒。
弹性势能在我们的日常生活中有着广泛的应用。弓箭射击时，拉弓储存弹性势能并转化为箭的动能。汽车的悬挂系统利用弹簧的弹性势能来缓冲震动。机械手表的发条通过储存弹性势能来提供动力。跳板跳水中，跳板的弹性帮助运动员获得更高的起跳高度。这些都是弹性势能转化为其他形式能量的典型例子。
胡克定律描述了弹性力与形变的关系，表达式为F等于负k乘以x。其中F是弹性力，k是弹性系数，x是形变量。负号表示弹性力的方向与形变方向相反，这是恢复力的特征。从图像可以看出，弹性力与位移成线性关系，弹性系数k决定了直线的斜率。
弹性势能公式可以通过功能关系推导得出。根据功的定义，功等于力对位移的积分。将胡克定律F等于负kx代入，得到功等于负k乘以x的积分。计算积分后得到功等于负二分之一kx的平方。由于弹性势能等于负功，所以弹性势能等于二分之一kx的平方。图中阴影面积表示外力所做的功。
弹性势能具有几个重要特性。首先，弹性势能总是非负值，在平衡位置时为零，偏离平衡位置越远势能越大。其次，势能与位移的平方成正比，这使得势能曲线呈抛物线形状。不同的弹性系数对应不同的抛物线，弹性系数越大，抛物线越陡峭，势能增长越快。
在弹性振动系统中，机械能守恒定律得到完美体现。当物体在最大压缩位置时，动能为零，弹性势能最大。当物体通过平衡位置时，弹性势能为零，动能最大。在整个振动过程中，弹性势能与动能相互转换，但总机械能保持不变，这就是机械能守恒定律的重要应用。