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平面向量可以用坐标来表示。当向量的起点在原点O，终点为P(x,y)时，我们就说向量a的坐标为(x,y)。这里x是向量在x轴上的投影，称为横坐标；y是向量在y轴上的投影，称为纵坐标。坐标表示法将向量的几何性质转化为代数形式，为向量运算提供了便利的工具。
向量的坐标运算遵循简单的代数法则。向量加法：对应坐标相加；向量减法：对应坐标相减；数乘运算：每个坐标都乘以该数。例如，设向量a为(2,1)，向量b为(1,3)，那么a加b等于(3,4)，a减b等于(1,-2)，2倍的a等于(4,2)。这些运算法则使得向量计算变得简单直观，几何意义也很清晰。
向量数量积有两种等价的定义方式。几何定义：两向量数量积等于它们的模长乘积再乘以夹角的余弦值。坐标定义：两向量数量积等于对应坐标乘积之和。例如向量a为(3,4)，向量b为(1,2)，按坐标定义计算得11。按几何定义，a的模长为5，b的模长为根号5，可求出夹角余弦值。数量积的结果是一个标量，不是向量。
数量积具有重要的运算性质：交换律、数乘结合律和分配律。更重要的是它的几何应用。第一，判断向量垂直：两向量垂直当且仅当它们的数量积为零。第二，计算向量夹角：夹角余弦值等于数量积除以两向量模长的乘积。第三，求投影长度：向量a在向量b上的投影长度等于它们的数量积除以b的模长。这些性质使数量积成为解决几何问题的有力工具。
通过一个综合案例来展示向量方法解决几何问题的完整过程。已知三角形ABC的三个顶点坐标，求面积和角度。首先建立向量AB和AC，然后用向量叉积公式计算面积得到5。接着计算两向量的数量积，结果为0，说明两向量垂直，角BAC为90度。这个例子完美展示了向量坐标运算在解决几何问题中的强大威力和简洁性。